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超限归纳法

超限归纳法，就像普通归纳法一样，用于证明性质 P(n) 对所有数字 n 成立。本质区别在于，普通归纳法仅限于自然数 Z^*，它们恰好是有限序数。从 P(n) 推导出 P(n+1) 的正常归纳步骤可能会由于极限序数而失败。

设 A 是一个良序集，设 P(x) 是一个具有域 A 的命题。超限归纳法的证明使用以下步骤 (Gleason 1991, Hajnal 1999)

1. 证明 P(0) 为真。

2. 假设 P(b) 对所有 b<a 为真。

3. 使用 (2) 中的假设证明 P(a)。

4. 那么 P(a) 对所有 a in A 为真。

为了证明点集拓扑中的各种结果，康托在 1880 年代开发了第一批超限归纳法。策梅洛 (1904) 通过“每个集合都可以良序化”的证明扩展了康托的方法，这成为了选择公理或佐恩引理 (Johnstone 1987)。超限归纳法和佐恩引理通常可以互换使用 (Reid 1995)，或者紧密相关 (Beachy 1999)。豪斯多夫 (1906) 是第一个明确命名超限归纳法的人 (Grattan-Guinness 2001)。

另请参阅

哥德尔第一不完备性定理, 哥德尔第二不完备性定理, 归纳法, 数学归纳原理, 强归纳原理, 弱归纳原理, Z-*

本条目的部分内容由 Jonathan Emerson 贡献

本条目的部分内容由 Mark Lezama 贡献

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参考文献

Beachy, J. and Bruce, J. W. (Eds.). Introductory Lectures on Rings and Modules Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 212, 1999.Gleason, A. M. Fundamentals of Abstract Analysis Natick, MA: A K Peters, p. 82, 1991.Grattan-Guinness, I. The Search for Mathematical Roots, 1870-1940. Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 137, 2001.Hajnal, A.; Hamburger, P.; Bruce, J. W. (Eds.). Set Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 66, 1999.Johnstone, P. T. Notes on Logic and Set Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 78, 1987.Reid, M. and Bruce, J. W. (Eds.). Undergraduate Commutative Algebra. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 25, 1995.Séroul, R. "Reasoning by Induction." §2.14 in Programming for Mathematicians. Berlin: Springer-Verlag, pp. 22-25, 2000.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

超限归纳法

引用为

Emerson, Jonathan; Lezama, Mark; 和 Weisstein, Eric W. “超限归纳法。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/TransfiniteInduction.html

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