哥德尔第一不完备性定理

哥德尔第一不完备性定理指出，所有包含皮亚诺算术的相容数论公理化形式体系，都包含不可判定的命题 (Hofstadter 1989)。这否定地回答了希尔伯特问题，该问题询问数学是否是“完备的”（即数论语言中的每个陈述都可以被证明或证伪）。

包含皮亚诺算术是必要的，因为例如普莱斯伯格算术是数论的一种相容的公理化形式体系，但它是可判定的。

然而，哥德尔第一不完备性定理也适用于罗宾逊算术（尽管罗宾逊的结果出现得较晚，并且由罗宾逊证明）。

格尔哈德·根岑表明，如果使用超限归纳法，则可以证明算术的相容性和完备性。然而，这种方法不允许证明所有数学的相容性。