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Painlevé 超越函数


存在六个 Painlevé 超越函数,它们对应于二阶常微分方程,这些方程仅有的可动奇点是通常的极点,且不能用其他已知函数或超越函数积分。

y^('')=6y^2+x
(1)
y^('')=2y^3+xy+alpha
(2)
y^('')=(y^('2))/y-(y^')/x+(alphay^2+beta)/x+gammay^3+delta/y
(3)
y^('')=(y^('2))/(2y)+3/2y^3+4xy^2+2(x^2-alpha)y+beta/y
(4)
y^('')=(1/(2y)+1/(y-1))y^('2)-(y^')/x+((y-1)^2)/(x^2)(alphay+beta/y)+(gammay)/x+(deltay(y+1))/(y-1)
(5)
y^('')=1/2(1/y+1/(y-1)+1/(y-x))y^('2)-(1/x+1/(x-1)+1/(y-x))y^'+(y(y-1)(y-x))/(x^2(x-1)^2)[alpha+(betax)/(y^2)+(gamma(x-1))/((y-1)^2)+(deltax(x-1))/((y-x)^2)]
(6)

(Painlevé 1906; Ince 1956, 第 345 页; Zwillinger 1997, 第 125-126 页)。

除了方程 (2) 之外,所有 Painlevé 超越函数对于其参数的特定值都具有首次积分。Painlevé 和他的学生发现了五个超越函数;第六个超越函数由 Fuchs (1905, 1907; Hille 1997, 第 440 页) 发现,并包含其他五个作为极限情况 (Garnier 1916ab; Ince 1956, 第 345 页)。

第六个 Painlevé 超越函数是定义新的超越函数的最重要的非线性微分方程之一。


另请参阅

Painlevé 属性, 超越函数

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参考文献

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Painlevé 超越函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "Painlevé 超越函数。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PainleveTranscendents.html

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