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比安基恒等式

黎曼张量的协变导数由下式给出

R_(lambdamunukappa;eta)=1/2partial/(partialx^eta)((partial^2g_(lambdanu))/(partialx^kappapartialx^mu)-(partial^2g_(munu))/(partialx^kappapartialx^lambda)-(partial^2g_(lambdakappa))/(partialx^mupartialx^nu)+(partial^2g_(mukappa))/(partialx^nupartialx^lambda)).
(1)

对 nu, kappa, 和 eta 进行置换 (Weinberg 1972, pp. 146-147) 得到比安基恒等式

R_(lambdamunukappa;eta)+R_(lambdamuetanu;kappa)+R_(lambdamukappaeta;nu)=0,
(2)

可以简明地写成

R^alpha_(beta[lambdamu;nu])=0
(3)

(Misner et al. 1973, p. 221), 其中 T_([a_1...a_n]) 表示反对称张量部分。Wald (1984, p. 39) 称

del _([a)R_(bc]d)^e=0
(4)

比安基恒等式，其中 del 是协变导数，而 R_(abc)^d 是黎曼张量。

另请参阅

收缩比安基恒等式, 爱因斯坦场方程, 里奇曲率张量, 黎曼张量

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参考文献

Misner, C. W.; Thorne, K. S.; and Wheeler, J. A. Gravitation. 旧金山: W. H. Freeman, 1973.Wald, R. M. General Relativity. 芝加哥, IL: University of Chicago Press, 1984.Weinberg, S. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. 纽约: Wiley, 1972.

在 中被引用

比安基恒等式

请引用为

Weisstein, Eric W. "比安基恒等式。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BianchiIdentities.html

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