商空间

拓扑空间 和其上的 等价关系 的商空间 是 中点的 等价类 的集合（在 等价关系 下），以及赋予 子集的以下拓扑： 的子集 被称为开集，当且仅当 在 中是开集。商空间也称为因子空间。

这可以用 映射 来表述如下：如果 表示将每个点发送到其在 中的 等价类 的 映射，则 上的拓扑可以通过规定 的子集是开集（当且仅当 是开集）来指定。

总的来说，商空间的性质并不良好，我们对它们的了解甚少。然而，已知任何紧致可度量空间都是 康托集 的商空间，任何紧致连通 维 流形（对于 ）是任何其他流形的商空间，并且从商空间 出发的函数是连续的，当且仅当函数 是连续的。

令 为闭 维 圆盘， 为其边界，即 维球面。那么 （同胚于 ）提供了一个商空间的例子。在这里， 被解释为当 维圆盘的边界坍缩为一个点时获得的空间，并且形式上是由“由 中所有点都等价的关系”生成的等价关系的“商空间”。