仿射扩展实数

通过将两个非正常元素添加到实数集 获得的集合 通常被称为（仿射）扩展实数集。虽然此集合的表示法尚未完全标准化，但 是常用的表示法。该集合也可以用区间表示法写为 。在适当的拓扑结构下， 是 的两点 紧化（或仿射闭包）。非正常元素，仿射无穷大 和 ，对应于数线的理想点。请注意，这些非正常元素不是实数，并且此扩展实数系统不是一个域。

许多作者简单地写 而不是写 。然而，复合符号 将在此处用于表示 的正非正常元素，从而允许单独的符号 被明确地用于表示 的无符号非正常元素，即 的单点 紧化（或射影闭包）。

的一个非常重要的性质是 所缺乏的，即 的每个子集 都具有下确界（最大下界）和上确界（最小上界）。 特别是， 并且，如果 是上方无界的，则 。 类似地， 并且，如果 是下方无界的，则 。

可以从 将顺序关系扩展到 ，并且可以部分扩展算术运算。 对于 ,

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	(2)
	(3)
	(4)
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	(6)
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	(8)

然而，表达式 , , 和 是未定义的。

以上定义 上的算术运算结果的陈述可以被视为关于确定性极限形式的陈述的缩写。 例如， 可以被视为 “如果 无限增加，则 无限减小。” 的缩写。 大多数关于 的描述也对非正常元素和 0 的乘积进行了陈述，但对于该陈述应该是什么并没有共识。 一些作者（例如，Kolmogorov 1995，第 193 页）指出，像 和 一样， 和 应该 未定义，大概是因为相应的不定极限形式的状态。 其他作者（例如 McShane 1983，第 2 页）接受 ，至少作为在某些上下文中非常有用的约定。

其他运算和函数的许多结果可以通过考虑确定性极限形式来获得。 例如，对于 ，可以获得函数 的部分扩展，如下所示

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			(10)
			(11)

函数 和 可以完全扩展到 ，其中

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一些其他重要函数（例如， 和 ）可以扩展到 ，而另一些函数（例如，，）则不能。 通过考虑确定性极限形式导出的涉及 和 的表达式的求值，通常被计算机代数语言（如 Wolfram 语言）在执行简化时使用。

浮点运算及其两个有符号的无穷大旨在逼近 上的算术运算 (Goldberg 1991, pp. 21-22)。