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Masser-Gramain 常数

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设 f(z) 为一个整函数，使得 f(n) 对于每个正整数 n 都是一个整数。然后 Pólya (1915) 证明了如果

limsup_(r->infty)(lnM_r)/r<ln2=0.693...
(1)

(OEIS A002162), 其中

M_r=sup_(|z|<=r)|f(x)|
(2)

是上确界，那么 f 是一个多项式。此外，ln2 是最佳常数（即，对于每个较小的值都存在反例）。

如果 f(z) 是一个整函数，且对于每个高斯整数 n，f(n) 是一个高斯整数，那么 Gelfond (1929) 证明存在一个常数 alpha 使得

limsup_(r->infty)(lnM_r)/(r^2)<alpha
(3)

意味着 f 是一个多项式。Gramain (1981, 1982) 表明最佳的此类常数是

alpha=pi/(2e)=0.5778...
(4)

(OEIS A086056)。

Maser (1980) 证明了较弱的结果，即如果

limsup_(r->infty)(lnM_r)/(r^2)<alpha_0,
(5)

其中

alpha_0=1/2exp(-delta+(4c)/pi),
(6)

且

c=gammabeta(1)+beta^'(1)
(7)
=1/4pi{2gamma+2ln2+3lnpi-4ln[Gamma(1/4)]}
(8)
approx 0.64624543989481...
(9)

(OEIS A086057), gamma 是欧拉-马歇罗尼常数, beta(z) 是狄利克雷 beta 函数, Gamma(z) 是伽玛函数,

delta=lim_(n->infty)(sum_(k=2)^n1/(pir_k^2)-lnn)
(10)

被称为 Masser-Gramain 常数，且 r_k 是最小的非负 r，对于该值，存在一个复数 z，使得以 z 为中心，r 为半径的闭圆盘 至少包含 k 个不同的高斯整数。

Gramain 和 Weber (1985, 1987) 已经获得

1.811447299<delta<1.897327117,
(11)

这意味着

0.1707339<alpha_0<0.1860446.
(12)

Gramain (1981, 1982) 推测

alpha_0=1/(2e),
(13)

这将意味着

delta=1+(4c)/pi=1.822825249...
(14)

(OEIS A086058)。

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Finch, S. R. "Masser-Gramain 常数。" §7.2 数学常数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 459-461, 2003.Gosper, R. W. "http://www.mathsoft.com/asolve/constant/constant.html。" [email protected] posting, Sept. 27, 1996.Gel'fond, A. O. "关于 G. Pólya 定理。" Atti Accad. Naz. Lincei Rend. 10, 568-574, 1929.Gramain, F. "关于 Fukagawa-Gel'fond 定理。" Invent. Math. 63, 495-506, 1981.Gramain, F. "关于 Fukagawa-Gel'fond-Gruman-Masser 定理。" Séminaire Delange-Pisot-Poitou (Théorie des Nombres), 1980-1981. Boston, MA: Birkhäuser, 1982.Gramain, F. and Weber, M. "与高斯整数环相关的计算和算术常数。" Math. Comput. 44, 241-245, 1985.Gramain, F. and Weber, M. "与高斯整数环相关的计算和算术常数。" Math. Comput. 48, 854, 1987.Havil, J. Gamma: 探索欧拉常数。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 116-117, 2003.Masser, D. W. "关于取整数值的整函数。" C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 291, A1-A4, 1980.Pólya, G. "关于取整数值的整函数。" Rend. Circ. Mat. Palermo 40, 1-16, 1915.Sloane, N. J. A. “整数序列在线百科全书”中的序列 A002162/M4074, A086056, A086057, 和 A086058。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Masser-Gramain 常数

请引用为

Weisstein, Eric W. "Masser-Gramain 常数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Masser-GramainConstant.html

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