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倒数卢卡斯常数

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已知偶数索引 卢卡斯数 的倒数和的闭合形式

P_L^((e))=sum_(n=1)^(infty)1/(L_(2n))
(1)
=sum_(n=1)^(infty)1/(phi^(2n)+phi^(-2n))
(2)
=-1/(4lnphi){pi+i[psi_(phi^2)(1+(ipi)/(4lnphi))-psi_(phi^2)(1-(ipi)/(4lnphi))]}
(3)
=1/4[theta_3^2(phi^(-2))-1]
(4)
=0.566177675...
(5)

(OEIS A153415)，其中 phi 是黄金比例，psi_q^((n))(z) 是 q-多伽玛函数，以及 theta_n(q) 是 雅可比 theta 函数，以及奇数索引卢卡斯数

P_L^((o))=sum_(n=0)^(infty)1/(L_(2n+1))
(6)
=sum_(n=0)^(infty)(phi^(2n+1))/(phi^(4n+2)-1)
(7)
=L(phi^(-4))-2L(phi^(-2))+L(phi^(-1))
(8)
=1/(4lnphi)[7lnphi-ln(phi^2+1)-4psi_(phi^(-1))(1)+4psi_(phi^(-2))(1)-psi_(phi^(-4))(1)]
(9)
=1/(4lnphi)[psi_(phi^2)(1/2-(ipi)/(2lnphi))-psi_(phi^2)(1/2)+ipi]
(10)
=1.39668...
(11)

(OEIS A153416)，其中 L(beta) 是 兰伯特级数 (Borwein and Borwein 1987, pp. 91-92)。这给出了倒数卢卡斯常数作为

P_L=sum_(n=1)^(infty)1/(L_n)
(12)
=sum_(n=1)^(infty)1/((-phi)^(-n)+phi^n)
(13)
=sum_(n=1)^(infty)(F_n)/(F_(2n))
(14)
=P_L^((e))+P_L^((o))
(15)
=1.96285817...
(16)

(OEIS A093540)，其中 phi 是黄金比例，F_n 是 斐波那契数。

Borwein 和 Borwein (1987, pp. 94-101) 给出了许多相关的优美公式。

另请参阅

卢卡斯数, 兰伯特级数, q-多伽玛函数, 倒数斐波那契常数

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参考文献

Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. "斐波那契数列倒数和的评估。" §3.7 in Pi & the AGM: 解析数论与计算复杂性研究。 New York: Wiley, pp. 91-101, 1987.Sloane, N. J. A. 序列 A093540, A153415, 和 A153416 in "整数数列在线百科全书。"

在 Wolfram|Alpha 上引用

倒数卢卡斯常数

请引用为

Weisstein, Eric W. "倒数卢卡斯常数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ReciprocalLucasConstant.html

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