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厄米算符

二阶线性厄米算符是一个 算符 L^~，它满足

int_a^bv^_L^~udx=int_a^buL^~v^_dx.
(1)

其中 z^_ 表示 复共轭。正如 Sturm-Liouville 理论中所示，如果 L^~ 是 自伴 的，并且满足边界条件

v^_pu^'|_(x=a)=v^_pu^'|_(x=b),
(2)

那么它自动是厄米的。

厄米算符具有 实 特征值、正交 特征函数，并且当 L^~ 是二阶线性的，对应的 特征函数 形成一个 完全双正交系统。

请注意，厄米算符的概念在量子力学中有所扩展，适用于不需要是二阶微分或实的算符。简单地假设边界条件在无穷远处充分强烈地消失或具有周期性行为，就允许算符 L^~ 在这种扩展意义上是厄米的，如果

intpsi^__1L^~psi_2dtau=intL^~psi_1^_psi_2dtau,
(3)

这与之前的定义相同，只是量被扩展为复数 (Arfken 1985, p. 506)。

为了证明 特征值 必须是 实数 并且 特征函数 是 正交的，考虑

L^~u_i+lambda_iwu_i=0.
(4)

假设存在第二个 特征值 lambda_j 使得

L^~u_j+lambda_jwu_j=0
(5)
L^~u^__j+lambda^__jwu^__j=0.
(6)

现在将 (4) 乘以 u^__j，将 (6) 乘以 u_i

u^__jL^~u_i+u^__jlambda_iwu_i=0
(7)
u_iL^~u^__j+u_ilambda^__jwu^__j=0
(8)
u^__jL^~u_i-u_iL^~u^__j=(lambda^__j-lambda_i)wu_iu^__j.
(9)

现在积分

int_a^bu^__jL^~u_i-int_a^bu_iL^~u^__j=(lambda^__j-lambda_i)int_a^bwu_iu^__j.
(10)

但是因为 L^~ 是厄米的，左边消失了。

(lambda^__j-lambda_i)int_a^bwu_iu^__j=0.
(11)

如果 特征值 lambda_i 和 lambda_j 不是简并的，那么 int_a^bwu_iu^__j=0，所以 特征函数 是 正交的。如果 特征值 是简并的，则 特征函数 不一定是正交的。现在取 i=j。

(lambda^__i-lambda_i)int_a^bwu_iu^__i=0.
(12)

除非 u_i=0，否则积分不能消失，所以我们有 lambda^__i=lambda_i 并且 特征值 是实数。

对于厄米算符 O^~，

<phi|O^~psi>=<phi|O^~psi>^_=<O^~phi|psi>.
(13)

在积分表示法中，

intA^~phi^_psidx=intphi^_A^~psidx.
(14)

给定厄米算符 A^~ 和 B^~，

<phi|A^~B^~psi>=<A^~phi|B^~psi>=<B^~A^~phi|psi>=<phi|B^~A^~psi>^_.
(15)

因为，对于具有 特征值 a 的厄米算符 A^~，

<psi|A^~psi>=<A^~psi|psi>
(16)
a<psi|psi>=a^_<psi|psi>.
(17)

因此，要么 <psi|psi>=0，要么 a=a^_。但是 <psi|psi>=0 当且仅当 psi=0，所以

<psi|psi>!=0,
(18)

对于非平凡的 特征函数。这意味着 a=a^|，即厄米算符产生 实 期望值。因此，每个可观测量都必须有一个对应的厄米算符。此外，

<psi_n|A^~psi_m>=<A^~psi_n|psi_m>
(19)
a_m<psi_n|psi_m>=a^__n<psi_n|psi_m>=a_n<psi_n|psi_m>,
(20)

因为 a_n=a^__n。那么

(a_m-a_n)<psi_n|psi_m>=0
(21)

对于 a_m!=a_n (即，psi_n!=psi_m)，

<psi_n|psi_m>=0.
(22)

对于 a_m=a_n (即，psi_n=psi_m)，

<psi_n|psi_m>=<psi_n|psi_n>=1.
(23)

因此，

<psi_n|psi_m>=delta_(nm),
(24)

因此，对应于厄米算符的 特征函数 基是 正交归一的。

通过以下方式定义 伴随 算符 A^~^|（也称为厄米共轭算符）

<A^~psi|psi>=<psi|A^~^|psi>.
(25)

对于厄米算符，

A^~=A^~^|.
(26)

此外，给定两个厄米算符 A^~ 和 B^~，

<psi_2|(A^~B^~)^|psi_1>=<(A^~B^~)psi_2|psi_1>
(27)
=<B^~psi_2|A^~^|psi_1>
(28)
=<psi_2|B^~^|A^~^|psi_1>,
(29)

所以

(A^~B^~)^|=B^~^|A^~^|.
(30)

通过进一步迭代，这可以推广到

(A^~B^~...Z^~)^|=Z^~^|...B^~^|A^~^|.
(31)

给定两个厄米算符 A^~ 和 B^~，

(A^~B^~)^|=B^~^|A^~^|=B^~A^~=A^~B^~+[B^~,A^~],
(32)

算符 A^~B^~ 等于 (A^~B^~)^|，因此是厄米的，仅当

[B^~,A^~]=0.
(33)

给定一个任意算符 A^~，

<psi_1|(A^~+A^~^|)psi_2>=<(A^~^|+A^~)psi_1|psi_2>
(34)
=<(A^~+A^~^|)psi_1|psi_2>,
(35)

所以 A^~+A^~^| 是厄米的。

<psi_1|i(A^~-A^~^|)psi_2>=<-i(A^~^|-A^~)psi_1|psi_2>
(36)
=<i(A^~-A^~^|)psi_1|psi_2>,
(37)

所以 i(A^~-A^~^|) 是厄米的。类似地，

<psi_1|(A^~A^~^|)psi_2>=<A^~^|psi_1|A^~|psi_2>
(38)
=<(A^~A^~^|)psi_1|psi_2>,
(39)

所以 A^~A^~^| 是厄米的。

另请参阅

伴随, 厄米矩阵, 自伴, Sturm-Liouville 理论

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Arfken, G. “厄米（自伴）算符。” §9.2 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 504-506 and 510-516, 1985.

在 Wolfram|Alpha 中引用

厄米算符

请引用本文为

Weisstein, Eric W. “厄米算符。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HermitianOperator.html

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