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亥姆霍兹微分方程 -- 球面


球体表面上,尝试在球坐标中进行分离变量,写作

 F(theta,phi)=Theta(theta)Phi(phi),
(1)

然后亥姆霍兹微分方程变为

 1/(sin^2phi)(d^2Theta)/(dtheta^2)Phi+(cosphi)/(sinphi)(dPhi)/(dphi)Theta+(d^2Phi)/(dphi^2)Theta+k^2ThetaPhi=0.
(2)

等式两边同除以 PhiTheta,

 ((cosphisinphi)/Phi(dPhi)/(dphi)+(sin^2phi)/Phi(d^2Phi)/(dphi^2))+(1/Theta(d^2Theta)/(dtheta^2)+k^2)=0,
(3)

现在可以通过写作来分离

 (d^2Theta)/(dtheta^2)1/Theta=-(k^2+m^2).
(4)

该方程的解必须是周期性的,因此 m 必须是整数。然后,解可以定义为复数函数

 Theta(theta)=A_me^(isqrt(k^2+m^2)theta)+B_me^(-isqrt(k^2+m^2)theta)
(5)

对于 m=-infty, ..., infty,或者作为实数正弦和余弦函数的和

 Theta(theta)=S_msin(sqrt(k^2+m^2)theta)+C_mcos(sqrt(k^2+m^2)theta)
(6)

对于 m=0, ..., infty。将 (4) 代入 (3) 得到

 (cosphisinphi)/Phi(dPhi)/(dphi)+(sin^2phi)/Phi(d^2Phi)/(dphi^2)+m^2=0
(7)
 Phi^('')+(cosphi)/(sinphi)Phi^'+(m^2)/(sin^2phi)Phi=0,
(8)

这是 x=cosphi勒让德微分方程,其中

 m^2=l(l+1),
(9)

给出

 l^2+l-m^2=0
(10)
 l=1/2(-1+/-sqrt(1+4m^2)).
(11)

因此,解是具有复数指标的勒让德多项式。则通用的复数解是

 F(theta,phi)=sum_(m=-infty)^inftyP_l(cosphi)(A_me^(imtheta)+B_me^(-imtheta)),
(12)

通用的实数解是

 F(theta,phi)=sum_(m=0)^inftyP_l(cosphi)[S_msin(mtheta)+C_mcos(mtheta)].
(13)

请注意,这些解仅取决于单个变量 m。但是,在球体表面上,通常用为三维球体情况推导出的球谐函数来表示解,这取决于两个变量 lm


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请引用为

Weisstein, Eric W. "亥姆霍兹微分方程 -- 球面。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HelmholtzDifferentialEquationSphericalSurface.html

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