(1)
|
然后亥姆霍兹微分方程变为
(2)
|
等式两边同除以 ,
(3)
|
现在可以通过写作来分离
(4)
|
该方程的解必须是周期性的,因此 必须是整数。然后,解可以定义为复数函数
(5)
|
对于 , ..., ,或者作为实数正弦和余弦函数的和
(6)
|
(7)
|
(8)
|
这是 的勒让德微分方程,其中
(9)
|
给出
(10)
|
(11)
|
(12)
|
通用的实数解是
(13)
|
请注意,这些解仅取决于单个变量 。但是,在球体表面上,通常用为三维球体情况推导出的球谐函数来表示解,这取决于两个变量 和 。