群代数

群代数 ，其中 是一个域， 是一个群，运算为 ，是 的有限多个元素的线性组合的集合，其系数在 中，因此是形式为如下的所有元素

(1)

其中 且 对于所有 。此元素通常可以表示为

(2)

其中假定对于 的所有元素但有限多个元素，。

是 上的一个代数，关于由规则定义的加法

(3)

由标量给出的乘积

(4)

以及乘法

(5)

从这个定义可以得出， 的单位元是 的单位元，并且 是可交换的 当且仅当 是一个 阿贝尔群。

如果域 被单位环 替换，则上面定义的加法和乘法产生群环 。

如果 ，且 是整数的通常加法，则群环 同构于由所有和形成的环

(6)

其中 是整数，且对于所有索引 ，。

设 是一个局部紧群， 是 上的左不变哈尔测度。则 巴拿赫空间 在由卷积给出的乘积 对于 是一个可交换的 巴拿赫代数，称为 的群代数。