Ábrego, B. M. 和 Fernández-Merchant, S. "直线交叉数的下界。" Graphs and Comb.21, 293-300, 2005。Aichholzer, O. "关于直线交叉数。" http://www.ist.tugraz.at/staff/aichholzer/research/rp/triangulations/crossing/。Aichholzer, O.; Aurenhammer, F.; 和 Krasser, H. "关于完全图的交叉数。" Proc. 18th Ann. ACM Symp. Comp. Geom., Barcelona, Spain, pp. 19-24, 2002。Bienstock, D. 和 Dean, N. "关于直线交叉数和平 embeddings 的新结果。" J. Graph Th.16, 389-398, 1992。Bienstock, D. 和 Dean, N. "直线交叉数的界限。" J. Graph Th.17, 333-348, 1993。Brodsky, A.; Durocher, S.; 和 Gethner, E. "迈向 的直线交叉数：新图纸、上限和渐近线。" http://www.cs.ubc.ca/spider/abrodsky/papers/reccr_n.ps.gz。Brodsky, A.; Durocher, S.; 和 Gethner, E. " 的直线交叉数为 62。" 2000 年 9 月 22 日。 http://arxiv.org/abs/cs.DM/0009023。Brodsky, A.; Durocher, S.; 和 Gethner, E. " 的直线交叉数为 62。" Electronic J. Combinatorics8, No. 1, R23, 1-30, 2001. http://www.combinatorics.org/Volume_8/Abstracts/v8i1r23.html。Finch, S. R. "直线交叉常数。" §8.18 in 数学常数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 532-534, 2003。Gardner, M. 打结的甜甜圈和其他数学娱乐。 New York: W. H. Freeman, 1986。Guy, R. K. "一个组合问题。" NABLA (Bull. Malayan Math. Soc.)7, 68-72, 1967。Guy, R. K. "图的交叉数。" In 图论及其应用：1972 年 5 月 10-13 日在密歇根州卡拉马祖西密歇根大学举行的会议论文集 (Ed. Y. Alavi, D. R. Lick, 和 A. T. White)。 New York: Springer-Verlag, pp. 111-124, 1972。Harary, F. 和 Hill, A. "关于完全图中的交叉数。" Proc. Edinburgh Math. Soc.13, 333-338, 1962/1963。Harary, F. 和 Palmer, E. M. "图枚举问题调查。" In 组合理论调查 (Ed. J. N. Srivastava)。 Amsterdam: North-Holland, pp. 259-275, 1973。Jensen, H. F. "完全图的直线交叉数的上限。" J. Combin. Th. B10, 212-216, 1971。Klee, V. "从给定的凸体中随机选择顶点的单纯形的期望体积是多少。" Amer. Math. Monthly76, 286-288, 1969。Lovász, L.; Vesztergombi, K.; Wagner, U.; 和 Welzl, E. "凸四边形和 -集。" In 迈向交叉数理论 (Ed. J. Pach)。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 139-148, 2004。Moon, J. "关于随机完全图中交叉点的分布。" J. Soc. Indust. Appl. Math.13, 506-510, 1965。Read, R. C. 和 Wilson, R. J. 图谱。 Oxford, England: Oxford University Press, 1998。直线交叉数项目。 http://dist.ist.tugraz.at/cape5/。Schaefer, M. "图交叉数及其变体：一项调查。" Elec. J. Combin., DS21, Version 3, Dec. 22, 2017。Scheinerman, E. 和 Wilf, H. S. "完全图的直线交叉数和西尔维斯特的几何概率“四点”问题。" Amer. Math. Monthly101, 939-943, 1994。Singer, D. "某些图的直线交叉数。" 未出版的手稿，1971 年。引用于 Gardner, M. 打结的甜甜圈和其他数学娱乐。 New York: W. H. Freeman, 1986。Sloane, N. J. A. 序列 A014540 in "整数序列在线百科全书"。White, A. T. 和 Beineke, L. W. "拓扑图论。" In 图论中的精选主题 (Ed. L. W. Beineke 和 R. J. Wilson)。 New York: Academic Press, pp. 15-49, 1978。Wilf, H. "关于交叉数以及一些未解决的问题。" In 组合学、几何学和概率：向 Paul Erdős 致敬。1993 年 3 月在剑桥三一学院举行的纪念 Erdős 80 岁生日的会议论文集 (Ed. B. Bollobás 和 A. Thomason)。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 557-562, 1997。
的直线交叉数是在平面上 
的直线嵌入中交叉点的最小数量。它有多种表示方法，如 
, 
(Schaefer 2017), 
, 或 
。
时，
情况下的相等性，但他们表示可以类似于 
情况建立。该结果不能扩展到 
，因为存在图 
，其中 
但 
对于任何 
(Bienstock 和 Dean 1993; Schaefer 2017, p. 54)。
成立的最小简单图出现在 8 个节点上。下表总结了四个这样的例子。16-胞图和完全图 
(Harary 和 Hill 1962-1963) 的最小交叉和直线交叉嵌入如上所示。
-
的完全图 
，直线交叉数总是大于一般图交叉数。对于 
，当 
, 2, ..., 时，完全图 
为 0, 0, 0, 0, 1, 3, 9, 19, 36, 62, ... (OEIS A014540; White 和 Beineke 1978, Scheinerman 和 Wilf 1994)。虽然长期以来人们都知道 
为 61 或 62 (Singer 1971, Gardner 1986)，但最终 Brodsky等人 (2000, 2001) 证明为 62。 
的情况于 2004 年解决，发现为 102。“直线交叉数项目”(http://www.ist.tugraz.at/staff/aichholzer/crossings.html) 找到了所有 
的值，并且根据最新的数学考虑，
和 
的直线交叉数也已知。目前，最小的未确定值是 
。
的错误嵌入已更正）。
![[1652,1657]](/images/equations/RectilinearCrossingNumber/Inline39.svg)
![[2521,2528]](/images/equations/RectilinearCrossingNumber/Inline41.svg)
![[3075,3077]](/images/equations/RectilinearCrossingNumber/Inline42.svg)
![[3690,3699]](/images/equations/RectilinearCrossingNumber/Inline43.svg)
![[4426,4430]](/images/equations/RectilinearCrossingNumber/Inline44.svg)
。上限归功于 Aichholzer等人 (2002)，下限归功于 Lovász等人 (2004)。Ábrego 和 Fernández-Merchand (2003) 独立证明了一个稍弱的边界 
。下限中的小 
项意义重大，因为它表明完全图的交叉数和直线交叉数在主导项上有所不同。特别是，已知 
的非直线嵌入具有 
个交叉点 (Moon 1965, Guy 1967)。
是一个二项式系数，
的确切值未知 (Finch 2003)。
的直线交叉数：新图纸、上限和渐近线。" 
的直线交叉数为 62。" 2000 年 9 月 22 日。 
的直线交叉数为 62。" Electronic J. Combinatorics 8, No. 1, R23, 1-30, 2001. 
-集。" In 迈向交叉数理论 (Ed. J. Pach)。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 139-148, 2004。Moon, J. "关于随机完全图中交叉点的分布。" J. Soc. Indust. Appl. Math. 13, 506-510, 1965。Read, R. C. 和 Wilson, R. J.