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Fisher's z 分布

Fischer's z-分布是由以下公式定义的通用分布

g(z)=(2n_1^(n_1/2)n_2^(n_2/2))/(B((n_1)/2,(n_2)/2))(e^(n_1z))/((n_1e^(2z)+n_2)^((n_1+n_2)/2))
(1)

(Kenney 和 Keeping 1951) 其中包括卡方分布和 Student's t-分布 作为特例。

令 u^2 和 v^2 为 独立 无偏估计量 的 方差 的 正态分布 变量。定义

z=ln(u/v)=1/2ln((u^2)/(v^2)).
(2)

然后令

F=(u^2)/(v^2)=((Ns_1^2)/(n_1))/((Ns_2^2)/(n_2))
(3)

因此 n_1F/n_2 是 卡方 变量的比率

(n_1F)/(n_2)=(chi^2(n_1))/(chi^2(n_2)),
(4)

这使其成为 伽玛分布 变量的比率，而伽玛分布变量本身又是 贝塔素数分布 变量，

(gamma((n_1)/2))/(gamma((n_2)/2))=beta^'((n_1)/2,(n_2)/2),
(5)

给出

f(F)=(((n_1F)/(n_2))^(n_1/2-1)(1+(n_1F)/(n_2))^(-(n_1+n_2)/2)(n_1)/(n_2))/(B((n_1)/2,(n_2)/2)).
(6)

平均值是

<F>=(n_2)/(n_2-2),
(7)

而众数是

(n_2)/(n_2+2)(n_1-2)/(n_1).
(8)

另请参阅

Beta 分布, Beta 素数分布, 卡方分布, Gamma 分布, 正态分布, Student's t 分布

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参考文献

Kenney, J. F. 和 Keeping, E. S. 统计数学，第 2 部分，第 2 版。 普林斯顿，新泽西州：范·诺strand，第 180-181 页，1951 年。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Fisher's z 分布

引用为

Weisstein, Eric W. "Fisher's z 分布。" 来自 MathWorld—— Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Fishersz-Distribution.html

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