C^k 函数

具有 个连续 导数的函数称为 函数。为了指定在域 上的 函数，使用符号 。最常见的 空间是 ，即 连续函数的空间，而 是 连续可微函数的空间。 Cartan (1977, p. 327) 幽默地写道：“通过‘可微’，我们指的是 C^k 类，其中 尽可能大。”

当然，任何光滑函数都是 函数，并且当 时，任何 函数都是 函数。很自然地认为 函数有点粗糙，但 函数的图形“看起来”很光滑。

函数的例子有 （当 为偶数时）和 ，它们在 0 处没有第 阶导数。

函数的概念可以被限制为那些前 阶导数是有界函数的函数。这种限制的原因是 函数的集合有一个范数，使其成为巴拿赫空间，