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塞瓦线

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塞瓦线是连接三角形的顶点与对边（或其延长线）上一点的线段。来自三角形的三个顶点的三条一般塞瓦线共点的条件被称为塞瓦定理。

Cevians

选取三角形DeltaABC内部的塞瓦点 P，并从每个顶点绘制穿过P到对边的塞瓦线，产生一组关于该点的相交塞瓦线AA^'、BB^'和CC^'。三角形DeltaA^'B^'C^'被称为DeltaABC关于P的塞瓦三角形，DeltaA^'B^'C^'的外接圆类似地被称为塞瓦圆。

如果P的三线坐标是(alpha,beta,gamma)，那么塞瓦线与对边交点的三线坐标由(0,beta,gamma)、(alpha,0,gamma)和(alpha,beta,0)给出（Kimberling 1998，第 185 页）。此外，三条塞瓦线的长度是

AA^'^_=(sqrt(bc[bc(beta^2+gamma^2)+(-a^2+b^2+c^2)betagamma]))/(bbeta+cgamma)
(1)
BB^'^_=(sqrt(ac[ac(alpha^2+gamma^2)+(a^2-b^2+c^2)alphagamma]))/(aalpha+cgamma)
(2)
CC^'^_=(sqrt(ab[ab(alpha^2+beta^2)+(a^2+b^2-c^2)alphabeta]))/(aalpha+bbeta).
(3)

比率

r_A,r_B,r_C=(AP)/(PA^'),(BP)/(PB^'),(CP)/(PC^')
(4)

塞瓦点P分割塞瓦线的比率之和与比率分别为

r_A+r_B+r_C=(bbeta+cgamma)/(aalpha)+(aalpha+cgamma)/(bbeta)+(aalpha+bbeta)/(cgamma)
(5)
r_Ar_Br_C=((aalpha+bbeta)(aalpha+cgamma)(bbeta+cgamma))/(abcalphabetagamma),
(6)

分别是>=6和>=8（Ramler 1958；Honsberger 1995，第 138-141 页）。

参见

角平分线, 塞瓦定理, 塞瓦圆, 塞瓦点, 塞瓦三角形, 垂足-塞瓦点, 劳斯定理, 分割线, 三角形中线

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参考文献

Honsberger, R. "On Cevians." Ch. 12 in Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 13 and 137-146, 1995.Kimberling, C. "Triangle Centers and Central Triangles." Congr. Numer. 129, 1-295, 1998.Ramler, O. J. Solved by C. W. Trigg. "Problem E1043." Amer. Math. Monthly 65, 421, 1958.Thébault, V. "On the Cevians of a Triangle." Amer. Math. Monthly 60, 167-173, 1953.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

塞瓦线

请引用为

Weisstein, Eric W. "塞瓦线。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Cevian.html

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