主题
Search

阿诺德猫映射

最著名的 Anosov 微分同胚 示例。它由以下变换给出

[x_(n+1); y_(n+1)]=[1 1; 1 2][x_n; y_n],
(1)

其中 x_(n+1) 和 y_(n+1) 以 1 为模计算。阿诺德猫映射是非哈密顿的、非解析的且是混合的。但是，由于行列式为 1，因此它是保面积的。李雅普诺夫特征指数由下式给出

|1-sigma 1; 1 2-sigma|=sigma^2-3sigma+1=0,
(2)

所以

sigma_+/-=1/2(3+/-sqrt(5)).
(3)

特征向量通过将 sigma_+/- 代入矩阵方程求得

[1-sigma_+/- 1; 1 2-sigma_+/-][x; y]=[0; 0].
(4)

对于 sigma_+，解是

y=1/2(1+sqrt(5))x=phix,
(5)

其中 phi 是黄金比例，因此不稳定的（归一化）特征向量是

xi_+=1/(10)sqrt(50-10sqrt(5))[1; 1/2(1+sqrt(5))].
(6)

类似地，对于 sigma_-，解是

y=-1/2(sqrt(5)-1)x=-phi^(-1)x,
(7)

因此稳定的（归一化）特征向量是

xi_-=1/(10)sqrt(50+10sqrt(5))[1; 1/2(1-sqrt(5))].
(8)

另请参阅

Anosov 映射

使用 Wolfram|Alpha 探索

请引用为

Weisstein, Eric W. “阿诺德猫映射。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ArnoldsCatMap.html

主题分类