头条新闻

海啸的数学

作者：Eric W. Weisstein 和 Michael Trott

2005年1月14日——2004年12月发生在印度洋的9.0级地震所引发的近期悲剧事件提醒我们，为了防止自然灾害造成不必要的生命损失，我们需要对复杂的物理现象进行科学的理解和建模（参见 Post 和 Vatta 2005）。

虽然海啸的全面物理学和建模是困难的问题，需要使用超级计算机和复杂的定制软件，但可以进行一些近似，使得海啸传播问题对于运行现成软件（如 的 Mathematica）的功率适中的计算机来说是可处理的。

最简单的水波理论可以合理地近似真实海洋波的行为，它是耦合偏微分方程组，称为浅水波方程（Pelinovsky等人 2001，Layton 2002），如上所示。这里，u 和 v 是水面水平速度分量，x 和 y 是波浪的空间坐标，t 是经过时间，g 是重力加速度，h 是波浪在海底地形 b 上方的高度。

海啸物理学的一部分包括“破碎”现象，或者当波浪靠近海岸线时翻滚。然而，由于水的顶部界面仅接触其上方的空气层，因此它本质上是自由的。这意味着必须在所谓的自由边界值问题的背景下求解微分方程，这通常是出了名的难以处理，并且需要复杂且困难的计算（Guyenne 和 Grilli 2003）。此外，当海啸长距离传播时，必须包括所谓的科里奥利加速度项，以考虑到波浪传播所参照的参考系（即地球）是旋转的这一事实。

Zahibo等人 (2003) 进行了如此全面的计算。但是由于浅水波方程难以求解，因此有时会以多种方式简化这些方程，包括将其线性化。线性化版本将水粒子的速度取为 (u, v) = ，即梯度的标量势。即使这个线性化版本也具有非常规的边界条件，这些条件难以正确处理。取欧拉无粘性运动方程的各种渐近极限，会得到一系列可积和近乎可积的方程，例如Korteweg-de Vries 方程、Camassa-Holm 方程、非线性薛定谔方程等等（Rahman 1995，Johnson 2003）。不幸的是，虽然这些方程具有精确（可积）解，但对于任何非非常短的时间尺度，它们也会偏离完整方程描述的真实行为（Johnson 2003）。因此，需要对浅水波方程进行完整求解，以便获得海啸传播的任何真实图像。

通过 Mathematica 数值求解浅水波方程计算出的海啸可视化。初始条件为高斯位移，底部几何形状在深海中被认为是平坦的，像余弦函数一样接近海岸线，并且是径向对称的。

为了创建上述海啸可视化，我们使用了 Mathematica 的 NDSolve 命令来求解浅水波方程，初始条件为高斯水位移。海底被假定为在中间是深且深度恒定的，同时像余弦函数一样平滑地向岸边倾斜。在上面的动画中，我们可以清楚地看到许多真实的物理效应，包括：（1）海啸的局部传播；（2）径向波阵面内海平面的一小部分偏移（这种效应仅存在于偶数维系统中；在本例中为二维）；以及（3）波阵面在接近海岸时变陡。当波浪接近海岸时，动画停止了，因为当深度变得与波长相当时，浅水波方程不再能准确描述波浪的传播。

在国家海洋和大气管理局网站上，可以看到使用定制软件和实际海岸线进行的更复杂的模拟。对生成此动画所用代码感兴趣的读者可以下载相应的 Mathematica 笔记本。在一台速度适中的台式电脑上求解方程不到一分钟。