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Rudin-Shapiro 序列

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设数字 n 以 二进制 形式写为

n=(epsilon_kepsilon_(k-1)...epsilon_1epsilon_0)_2,
(1)

并定义

b_n=sum_(i=0)^(k-1)epsilon_iepsilon_(i+1)
(2)

为 n 的 二进制 展开式中 11 的 数字块 的数量。对于 n=0, 1, ..., b_n 由 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 3, ... 给出 (OEIS A014081)。

现在定义

a_n=(-1)^(b_n)
(3)

为 n 的 二进制 展开式中连续 1 的对数的奇偶性。对于 n=0, 1, ..., 前几个值是 1, 1, 1, -1, 1, 1, -1, 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, ... (OEIS A020985)。这被称为 Rudin-Shapiro 序列，有时也称为 Golay-Rudin-Shapiro 序列。

Binary plot of the Rudin-Shapiro sequence

求和 序列 a_n 然后由下式定义

s_n=sum_(i=0)^na_i,
(4)

给出 n=0, 1, ... 的前几个项为 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 5, 4, ... (OEIS A020986)。

有趣的是，正整数 n 在序列中恰好出现 n 次，而序列中 n 的位置由数字三角形给出

0 1,3 2,4,6 5,7,13,15 8,12,14,16,26
(5)

(OEIS A093573)。

对于特殊情况 n=2^(k-1), 可以使用公式计算 s_n

s_n={2^(k/2)+1 if k is even; 2^((k-1)/2)+1 if k is odd
(6)

(Blecksmith 和 Laud 1995), 给出 n=1, 2, ... 的值为 2, 3, 3, 5, 5, 9, 9, 17, 17, 33, 33, 65, ... (OEIS A051032)。因此，该序列是序列 2, 3, 5, 9, 17, ... (OEIS A000051 的项对；仅保留初始项的单个成员)，即 2^n+1 形式的数字。

另请参阅

二进制, 数字块, 折叠, Stolarsky-Harborth 常数

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参考文献

Allouche, J.-P. 和 Shallit, J. "例 5.1.5 (Rudin-Shapiro 序列)." Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 78-80 和 154-155, 2003.Blecksmith, R. 和 Laud, P. W. "通过概率机制进行的一些精确数论计算." Amer. Math. Monthly 102, 893-903, 1995.Brillhart, J.; Erdős, P.; 和 Morton, P. "关于 Rudin-Shapiro 系数 II 的和." Pac. J. Math. 107, 39-69, 1983.Brillhart, J. 和 Morton, P. "Über Summen von Rudin-Shapiroschen Koeffizienten." Ill. J. Math. 22, 126-148, 1978.Mendes France, M. 和 van der Poorten, A. J. "纸张折叠序列的算术和解析性质." Bull. Austral. Math. Soc. 24, 123-131, 1981.Sloane, N. J. A. 序列 A000051/M0717, A014081, A020985, A020986, A051032, 和 A093573 在 "整数序列在线百科全书" 中。

在 Wolfram|Alpha 上被引用

Rudin-Shapiro 序列

引用方式

Weisstein, Eric W. "Rudin-Shapiro 序列." 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Rudin-ShapiroSequence.html

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