排列对合

集合 的对合是 的一个 排列，它不包含任何长度 的置换环（即，它完全由不动点和对换组成）。对合与自共轭排列（即，是其自身逆排列的排列）存在一一对应关系。例如，在 1 个元素上的唯一排列对合是 ，在 2 个元素上的两个对合排列是 和 ，以及在 3 个元素上的四个对合排列是 , , , 和 。可以使用以下方法测试排列 以确定它是否是对合：InvolutionQ[p] 在 Wolfram 语言 包中Combinatorica` .

对合的置换矩阵是对称的。在 个元素上的对合数与在 个元素上的不同杨氏表的数量相同（Skiena 1990, p. 32）。

一般来说，在 个字母上的对合排列的数量由以下公式给出

(1)

其中 是一个二项式系数 (Muir 1960, p. 5)，或者可替换地由

(2)

(Skiena 1990, p. 32)。虽然在 个符号上的对合数不能表示为固定数量的超几何项（Petkovšek et al. 1996, p. 160），但它可以根据第二类合流超几何函数 写成

(3)

将其分解为 偶数和奇数给出

(4)

包含前 个整数的集合的对合数 由递推关系给出

(5)

(Muir 1960, pp. 3-7; Skiena 1990, p. 32)。对于 , 2, ..., 的前几个值是 1, 2, 4, 10, 26, 76, ... (OEIS A000085)。