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皮尔逊系统

通过推广正态分布的微分方程获得的一系列方程类型系统

(dy)/(dx)=(y(m-x))/a,
(1)

其解为

y=Ce^((2m-x)x/(2a)),
(2)

至

(dy)/(dx)=(y(m-x))/(a+bx+cx^2),
(3)

其解为

y=C(a+bx+cx^2)^(-1/(2c))exp[((b+2cm)tan^(-1)((b+2cx)/(sqrt(4ac-b^2))))/(csqrt(4ac-b^2))].
(4)

设 c_1, c_2 为 a+bx+cx^2 的根。则可能的曲线类型为

0. b=c=0, a>0。例如，正态分布。

I. b^2/4ac<0, c_1<=x<=c_2。例如，贝塔分布。

II. b^2/4ac=0, c<0, -c_1<=x<=c_1 其中 c_1=sqrt(-c/a)。

III. b^2/4ac=infty, c=0, c_1<=x<infty 其中 c_1=-a/b。例如，伽玛分布。此情况介于情况 I 和 VI 之间。

IV. 0<b^2/4ac<1, -infty<x<infty。

V. b^2/4ac=1, c_1<=x<infty 其中 c_1=-b/2a。介于情况 IV 和 VI 之间。

VI. b^2/4ac>1, c_1<=x<infty 其中 c_1 是较大的根。例如，贝塔素分布。

VII. b^2/4ac=0, c>0, -infty<x<infty。例如，学生t 分布。

Pearson (1916) 讨论了 IX-XII 类。另见 Craig (在 Kenney 和 Keeping 1951 中)。

如果 Pearson 曲线具有众数，它将位于 x=m。设 y(x)=0 在 c_1 和 c_2 处，其中这些可能是 -infty 或 infty。如果 yx^(r+2) 在 c_1, c_2 处也消失，则第 r 阶矩和第 (r+1) 阶矩存在。

int_(c_1)^(c_2)(dy)/(dx)(ax^r+bx^(r+1)+cx^(r+2))dx=int_(c_1)^(c_2)y(mx^r-x^(r+1))dx,
(5)

给出

[y(ax^r+bx^(r+1)+cx^(r+2))]_(c_1)^(c_2)-int_(c_1)^(c_2)y[arx^(r-1)+b(r+1)x^r+c(r+2)x^(r+1)]dx =int_(c_1)^(c_2)y(mx^r-x^(r+1))dx
(6)
0-int_(c_1)^(c_2)y[arx^(r-1)+b(r+1)x^r+c(r+2)x^(r+1)]dx=int_(c_1)^(c_2)y(mx^r-x^(r+1))dx.
(7)

现在定义原始第 r 阶矩为

nu_r=int_(c_1)^(c_2)yx^rdx,
(8)

因此，将 (7) 与 (8) 结合得到

arnu_(r-1)+b(r+1)nu_r+c(r+2)nu_(r+1)=-mnu_r+nu_(r+1).
(9)

对于 r=0，

b+2cnu_1=-m+nu_1,
(10)

因此

nu_1=(m+b)/(1-2c),
(11)

以及对于 r=1，

a+2bnu_1+3cnu_2=-mnu_1+nu_2,
(12)

因此

nu_2=(a+(m+2b)nu_1)/(1-3c).
(13)

结合 (11)、(13) 和定义

nu_1=0
(14)
nu_2=mu_2=1
(15)

通过令 t=(x-nu_1)/sigma 并同时求解得到 b=-m 和 a=1-3c。写作

alpha_r=mu_r=nu_r
(16)

则允许将一般递推关系写成

(1-3c)ralpha_(r-1)-mralpha_r+[c(r+2)-1]alpha_(r+1)=0.
(17)

对于特殊情况 r=2 和 r=3，这给出

2m+(1-4c)alpha_3=0
(18)
3(1-3c)-3malpha_3-(1-5c)alpha_4=0,
(19)

因此，偏度和峰度超额为

gamma_1=alpha_3=(2m)/(4c-1)
(20)
gamma_2=alpha_4-3=(6(m^2-4c^2+c))/((4c-1)(5c-1)).
(21)

因此，参数 a、b 和 c 可以写成

a=1-3c
(22)
b=-m=(gamma_1)/(2(1+2delta))
(23)
c=delta/(2(1+2delta)),
(24)

其中

delta=(2gamma_2-3gamma_1^2)/(gamma_2+6).
(25)

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Craig, C. C. "A New Exposition and Chart for the Pearson System of Frequency Curves." Ann. Math. Stat. 7, 16-28, 1936.Kenney, J. F. and Keeping, E. S. Mathematics of Statistics, Pt. 2, 2nd ed. Princeton, NJ: Van Nostrand, p. 107, 1951.Pearson, K. "Second Supplement to a Memoir on Skew Variation." Phil. Trans. A 216, 429-457, 1916.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

皮尔逊系统

请引用为

Weisstein, Eric W. “皮尔逊系统。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PearsonSystem.html

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