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比率分布

给定两个分布 Y 和 X，其联合概率密度函数为 f(x,y)，令 U=Y/X 为比率分布。则 u 的分布函数为

D(u)=P(U<=u)
(1)
=P(Y<=uX|X>0)+P(Y>=uX|X<0)
(2)
=int_0^inftyint_0^(ux)f(x,y)dydx+int_(-infty)^0int_(ux)^0f(x,y)dydx.
(3)

则概率函数为

P(u)=D^'(u)
(4)
=int_0^inftyxf(x,ux)dx-int_(-infty)^0xf(x,ux)dx
(5)
=int_(-infty)^infty|x|f(x,ux)dx.
(6)

对于具有标准正态分布的变量，比率分布是柯西分布。

对于均匀比率分布

f(x,y)={1 for x,y in [0,1]; 0 otherwise,
(7)
P(u)={0 u<0; int_0^1xdx=[1/2x^2]_0^1=1/2 for 0<=u<=1; int_0^(1/u)xdx=[1/2x^2]_0^(1/u)=1/(2u^2) for u>1.
(8)

另请参阅

柯西分布, 差分布, 积分布, 和分布, 均匀比率分布

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请引用为

Weisstein, Eric W. “比率分布。” 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/RatioDistribution.html

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