马尔可夫数

马尔可夫数 是方程 的解 马尔可夫方程 的并集

(1)

并与 拉格朗日数 相关，关系式为

(2)

前几个解是 , (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), .... 所有解都可以从前两个解生成，因为该方程在每个变量中都是二次方程，因此一个整数解会导致第二个解，并且事实证明，所有解（前两个奇异解除外）都具有不同的 、 和 值，并与另外三个解共享其三个值中的两个（Guy 1994, p. 166）。马尔可夫数然后由 1, 2, 5, 13, 29, 34, ... 给出 (OEIS A002559)。

对于其中一项为 5 的三元组 ，马尔可夫数为 1, 2, 13, 29, 194, 433, ... (OEIS A030452)，其项由 递推关系 给出

(3)

其中 , , , 和 。

这些解可以排列成一棵无限树，每根树干上有两个较小的分支。目前尚不清楚两个不同的区域是否可以具有相同的标签。奇怪的是，与 1 相邻的区域具有交替的 斐波那契数 1, 2, 5, 13, 34, ...，而与 2 相邻的区域具有交替的 佩尔数 1, 5, 29, 169, 985, ....

设 为 三元组 的数量，其中 ，则

(4)

其中 (Guy 1994, p. 166)。