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勒贝格最小问题

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LebesguesMinimal

找到面积最小的平面薄片 薄片，它可以覆盖任何单位广义直径的平面图形。一个单位圆太小，但一个六边形外接于单位圆则又过大。帕尔 (1920) 表明，可以通过切掉六边形角上与六边形的内切圆相切的两个等腰三角形来缩小六边形（Wells 1991；上图左侧）。斯普拉格随后证明，还可以移除一个额外的微小曲线区域（Wells 1991；上图右侧）。这些构造给出了上界。

内切圆半径 r=1/2 (给出 直径 为 1) 的六边形的边长为

a=2rtan(pi/n)=1/3sqrt(3),
(1)

并且这个六边形的面积是

A_1=nr^2tan(pi/n)=1/2sqrt(3)=0.866025...
(2)

(OEIS A010527)。

LebesguesMinimalTriangle

在上图中，矢高由下式给出

s=rtan(pi/n)tan(pi/(2n))
(3)
=1/6(2sqrt(3)-3),
(4)

其他距离由下式给出

b=stan(pi/3)=sqrt(3)s
(5)
h=sqrt(s^2+b^2)=2s,
(6)

因此，在帕尔简化中移除的一个等边三角形的面积是

A_Delta=bs
(7)
=sqrt(3)s^2
(8)
=1/(12)(7sqrt(3)-12)
(9)
approx 0.010363,
(10)

因此，移除两个这样的三角形后剩余的面积是

A_2=A_1-2A_Delta
(11)
=2/3(3-sqrt(3))
(12)
=0.845299...
(13)

(OEIS A093821)。

计算斯普拉格构造中移除的区域的面积更为复杂。首先，使用相似三角形

(a-h)/h=(r_2)/(r_1)
(14)

结合 r_1+r_2=r 得到

r_2=(2r(a-h))/a=sqrt(3)-1.
(15)

然后

x=r_2cos(pi/3)=1/2(sqrt(3)-1),
(16)

并且角 theta 由下式给出

theta=cos^(-1)(x/(2r))=cos^(-1)[1/2(sqrt(3)-1)],
(17)

并且角 phi 仅仅是

phi=theta-1/3pi.
(18)

距离 h^' 是

h^'=2rtanphi
(19)
l=2rsecphi,
(20)

并且三角形和扇形之间的面积是

dA_3^((1))=rh-1/2(2r)^2phi
(21)
=2r^2(tanphi-phi)
(22)
=1/2(tanphi-phi)
(23)
approx 0.000554738.
(24)

小三角形的面积是

dA_3^((2))=1/2(l-2r)(h-h^')
(25)
=1/6(secphi-1)(2sqrt(3)-3-3tanphi)
(26)
approx 0.0000264307,
(27)

因此，剩余的总面积是

A_3=A_2-2(dA_3^((1))-dA_3^((2)))
(28)
=-(109)/(121)-(82)/(121sqrt(3))+2/(121)sqrt(28634sqrt(3)-35139)-1/3pi+cos^(-1)[1/2(sqrt(3)-1)]
(29)
=0.844137...
(30)

(OEIS A093822)。

还已知面积的下界由下式给出

A>1/8pi+1/4sqrt(3) approx 0.825712
(31)

(Ogilvy 1990)。

另请参阅

面积, Borsuk 猜想, 广义直径, Kakeya 针问题

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Ball, W. W. R. 和 Coxeter, H. S. M. 数学消遣与散文，第 13 版 New York: Dover, p. 99, 1987.Coxeter, H. S. M. "勒贝格最小问题。" Eureka 21, 13, 1958.Grünbaum, B. "Borsuk 问题及相关问题。" Proc. Sympos. Pure Math, Vol. 7. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 271-284, 1963.Kakeya, S. "关于卵形线的极大值和极小值的一些问题。" Sci. Reports Tôhoku Imperial Univ., Ser. 1 (Math., Phys., Chem.) 6, 71-88, 1917.Ogilvy, C. S. 未来的数学：业余爱好者未解问题，第 2 版 New York: Oxford University Press, 1972.Ogilvy, C. S. 几何学之旅。 New York: Dover, pp. 142-144, 1990.Pál, J. "Ueber ein elementares Variationsproblem." Det Kgl. Danske videnkabernes selskab, Math.-fys. meddelelser 3, Nr. 2, 1-35, 1920.Sloane, N. J. A. 序列 A010527, A093821, 和 A093822 在 "整数序列在线百科全书" 中。Wells, D. 企鹅好奇与有趣的几何学词典。 London: Penguin, p. 138, 1991.Yaglom, I. M. 和 Boltyanskii, V. G. 凸图形。 New York: Holt, Rinehart, & Winston, pp. 18 和 100, 1961.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

勒贝格最小问题

请引用为

Eric W. Weisstein "勒贝格最小问题。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LebesgueMinimalProblem.html

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