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卡克亚针问题

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卡克亚针问题要求找出平面图形的最小面积，在其中可以自由旋转宽度为 1 的线段（其中也允许线段平移）。令人惊讶的是，没有最小面积（Besicovitch 1928）。另一种趋向于所需面积尽可能小的迭代构造称为 Perron 树（Falconer 1990，Wells 1991）。

当图形被限制为凸形时，最小区域是单位高度的等边三角形。Wells（1991）指出卡克亚发现了这一点，而 Falconer（1990）将其归因于 Pál。

如果将凸性替换为较弱的单连通性假设，则面积仍然可以任意小，但如果要求集合是星形的，则已知下界为 pi/108 (Cunningham 1965)。

最小的简单凸域，在其中可以放置长度为 1 的线段，当旋转 180 degrees 时，该线段将与其自身重合，其面积为

1/(24)(5-2sqrt(2))pi=0.284258...

(OEIS A093823；Le Lionnais 1983)。

另请参阅

定宽曲线, Lebesgue 最小问题, Perron 树, 勒洛多边形, 勒洛三角形

本条目的部分内容由 Laura Wisewell 贡献

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参考文献

Ball, W. W. R. 和 Coxeter, H. S. M. 数学娱乐与散文，第 13 版 New York: Dover, pp. 99-101, 1987.Besicovitch, A. S. "关于卡克亚问题及类似问题。" Math. Z. 27, 312-320, 1928.Besicovitch, A. S. "卡克亚问题。" Amer. Math. Monthly 70, 697-706, 1963.Borwein, J. 和 Bailey, D. 实验数学：21 世纪的合理推理 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 81-82, 2003.Cunningham, F. Jr. 和 Schoenberg, I. J. "关于卡克亚常数。" Canad. J. Math. 17, 946-956, 1965.Falconer, K. J. 分形集的几何，第一版平装本，已修订 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.Le Lionnais, F. 卓越的数 Paris: Hermann, p. 24, 1983.Littlewood, J. E. Littlewood 的杂集 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 38, 1986.Ogilvy, C. S. 微积分笔记本 Boston, MA: Prindle, Weber, & Schmidt, 1968.Ogilvy, C. S. 几何之旅 New York: Dover, pp. 147-153, 1990.Pál, J. "卵形线的最小值问题。" Math. Ann. 88, 311-319, 1921.Sloane, N. J. A. 整数数列在线百科全书中的序列 A093823."Steinhaus, H. 数学快照，第 3 版 New York: Dover, pp. 151-152, 1999.Wagon, S. Mathematica 实践 New York: W. H. Freeman, pp. 50-52, 1991.Wells, D. 企鹅好奇与趣味几何词典 London: Penguin, pp. 128-129, 1991.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

卡克亚针问题

引用为

Weisstein, Eric W. 和 Wisewell, Laura. "卡克亚针问题。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源. https://mathworld.net.cn/KakeyaNeedleProblem.html

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