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Haar 函数

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定义

psi(x)={1 0<=x<1/2; -1 1/2<x<=1; 0 otherwise
(1)

和

psi_(jk)(x)=psi(2^jx-k)
(2)

对于 j 一个非负整数和 0<=k<=2^j-1。

HaarFns

因此，例如，psi_(jk)(x) 的前几个值是

psi_(00)=psi(x)
(3)
psi_(10)=psi(2x)
(4)
psi_(11)=psi(2x-1)
(5)
psi_(20)=psi(4x)
(6)
psi_(21)=psi(4x-1)
(7)
psi_(22)=psi(4x-2)
(8)
psi_(23)=psi(4x-3).
(9)

那么一个函数 f(x) 可以通过以下级数展开式表示：

f(x)=c_0+sum_(j=0)^inftysum_(k=0)^(2^j-1)c_(jk)psi_(jk)(x).
(10)

函数 psi_(jk) 和 psi 在 [0,1] 上都是正交的，其中

int_0^1psi(x)psi_(jk)(x)dx=0
(11)
int_0^1psi_(jk)(x)psi_(lm)(x)dx=0
(12)

对于第一种情况 (j,k)!=(0,0)，对于第二种情况 (j,k)!=(l,m)。

这些函数可以用来定义小波。令一个函数定义在 n 个区间上，其中 n 是 2 的幂。那么任意函数可以被视为一个 n-向量 f，并且展开式 b 中的系数可以通过解矩阵方程来确定

f=W_nb
(13)

对于 b，其中 W 是 psi 基函数的矩阵。例如，四阶 Haar 函数小波矩阵由下式给出

W_4=[1 1 1 0; 1 1 -1 0; 1 -1 0 1; 1 -1 0 -1]
(14)
=[1 1 0 0; 1 -1 0 0; 0 0 1 1; 0 0 1 -1][1 0 0 0; 0 0 1 0; 0 1 0 0; 0 0 0 1][1 1 0 0; 1 -1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1].
(15)

参见

小波, 小波矩阵, 小波变换

使用 探索

参考文献

Haar, A. "Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme." Math. Ann. 69, 331-371, 1910.Strang, G. "Wavelet Transforms Versus Fourier Transforms." Bull. Amer. Math. Soc. 28, 288-305, 1993.

在 中被引用

Haar 函数

如此引用

Weisstein, Eric W. "Haar 函数。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HaarFunction.html

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