Gâteaux 导数

设 和 为巴拿赫空间，且设 为它们之间的函数。 被称为是 Gâteaux 可微的，如果存在一个算子 ，使得对于所有 ,

(1)

算子 被称为 在 处的 Gâteaux 导数。 有时被假定为有界的，尽管在没有这个假设的情况下，Gâteaux 可微性的大部分理论仍然不变。

如果 Gâteaux 导数存在，则它是唯一的。

关于 Gâteaux 导数的一个基本结果是， 在点 处是 Gâteaux 可微的，当且仅当所有方向算子

(2)

存在并形成一个有界 线性算子 。此外，Gâteaux 导数满足来自基本微积分的许多性质的类似物，包括形式为均值性质

(3)

Fréchet 导数的一个定义涉及 Gâteaux 导数在 的单位球面上的均匀存在性（Andrews 和 Hopper）。 特别是，Fréchet 可微性强于 Gâteaux 意义下的可微性，这意味着每个 Fréchet 可微的函数都自动在 Gâteaux 意义上可微，尽管反之则一般不成立。Andrews 和 Hopper 给出了一些标准，用于确定这两个概念何时等价，同时指出这两个概念在无限维空间的情况下与有限维空间的情况表现出截然不同的行为。