欧拉猜想，至少需要 
次方 幂，才能使 
的和本身也是一个 
次方 幂。Lander 和 Parkin (1967) 用以下反例证伪了这个猜想
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(1)
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Ekl (1998) 定义了一个扩展的欧拉猜想，即 
丢番图方程 无解
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(2)
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其中 
和 
不必不同，使得 
。定义
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(3)
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在所有已知的 
方程的解中，此猜想断言 
。目前还没有已知的反例来反驳这个猜想 (Ekl 1998)。下表给出了对于小的 
，
的已知最小值。
 | 最小值  解。 |  | 参考文献 |
| 4 | 4.1.3 | 0 | Elkies (1988) |
| 5 | 5.1.4 | 0 | Lander et al. (1967) |
| 6 | 6.3.3 | 0 | Subba Rao (1934) |
| 7 | 7.4.4 | 1 | Ekl (1996) |
| 8 | 8.3.5 | 0 | S. Chase (Meyrignac) |
| 8 | 8.4.4 | 0 | N. Kuosa (2006年11月9日；Meyrignac) |
| 9 | 9.5.5 | 1 | Ekl 1997 (Meyrignac) |
| 10 | 10.6.6 | 2 | N. Kuosa (2002；Meyrignac) |
S. Chase 发现了一个 8.3.5 (
) 解，取代了 Letac (1942) 的 8.5.5 (
) 解。在 2006 年，N. Kuosa 发现了一个 8.4.4 解，其中 
。Ekl (1996, 1998) 发现了 9.4.6 和 9.5.5 解（均具有 
），取代了 Lander et al. (1967) 的 9.6.6 (
) 解。N. Kuosa 发现了三个 10.6.6 解（具有 
），取代了 Moessner (1939) 的 10.7.7 (
解。
." Math. Comput. 51, 828-838, 1988.Hoffman, P.