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皮尔斯展开

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实数 0<x<1 的皮尔斯展开，或交错埃及乘积，是正整数 {a_1,a_2,...} 的唯一递增序列 a_i 使得

x=1/(a_1)-1/(a_1a_2)+1/(a_1a_2a_3)-....
(1)

一个数 0<x<1 具有有限皮尔斯展开 当且仅当 当且仅当 x 是 有理数。

特殊情况总结在下表中。

xOEIS皮尔斯展开
2^(-1/2)A0918311, 3, 8, 33, 35, 39201, 39203, 60245508192801, ...
卡塔兰常数 KA1322011, 11, 13, 59, 582, 12285, 127893, 654577, ...
cos1A1182391, 2, 12, 30, 56, 90, 132, 182, 240, ...
e^(-1)A0207252, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...
欧拉-马歇罗尼常数 gammaA0062841, 2, 6, 13, 21, 24, 225, 615, 17450, ...
自然对数 2 ln2A0918461, 3, 12, 21, 51, 57, 73, 85, 96, ...
phi^(-1)A1182421, 2, 4, 17, 19, 5777, 5779, 192900153617, ...
pi^(-1)A0062833, 22, 118, 383, 571, 635, 70529, ...
sech11, 2, 3, 8, 9, 24, 37, 85, ...
sin1A0683771, 6, 20, 42, 72, 110, 156, 210, 272, ...

如果 x 具有以下形式

x=(c-sqrt(c^2-4))/2,
(2)

那么皮尔斯展开有一个闭合形式，由下式给出

x={c_0-1,c_0+1,c_1-1,c_1+1,c_2-1,c_2+1,...},
(3)

其中

c_0=c
(4)
=(1+x^2)/x
(5)

且 c_(k+1)=c_k^3-3c_k (Shallit 1984)。这个递推关系有显式解

c_k^((c))=-2cos[3^kcos^(-1)(-1/2c)]
(6)

Shallit (1984) 未指出。

c=3，对应于 x=(3-sqrt(5))/2，具有特别优美的形式

c_n^((3))=-2cos[3^ncos^(-1)(-3/2)]
(7)
=2F_(2·3^n+1)-F_(2·3^n),
(8)

其中 F_n 是一个 斐波那契数。

下表给出了对于一些小整数 c 的系数 c_k 和 a_k。

cxOEIS{c_k}OEIS{a_k}
31/2(3-sqrt(5))A0019993, 18, 5778, 192900153618, ...A0062762, 4, 17, 19, 5777, 5779, ...
42-sqrt(3)4, 52, 140452, 2770663499604052, ...3, 5, 51, 53, 140451, 140453, ...
51/2(5-sqrt(21))5, 110, 1330670, 2356194280407770990, ...4, 6, 109, 111, 1330669, 1330671, ...
63-2sqrt(2)A1128456, 198, 7761798, 467613464999866416198, ...A0062755, 5, 7, 197, 199, 7761797, ...

另请参阅

恩格尔展开

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参考文献

Erdős, P. and Shallit, J. O. "有限皮尔斯和恩格尔级数长度的新界限。" Sem. Theor. Nombres Bordeaux 3, 43-53, 1991.Keselj, V. "有限皮尔斯级数的长度：理论分析和数值计算。" Sep. 10, 1996. http://www.cs.uwaterloo.ca/research/tr/1996/21/cs-96-21.pdf.Mays, M. E. "迭代除法算法。" Fib. Quart. 25, 204-213, 1987.Pierce, T. A. "关于一种算法及其在逼近多项式根中的应用。" Amer. Math. Monthly 36, 523-525, 1929.Salzer, H. E. "将数近似为倒数之和。" Amer. Math. Monthly 54, 135-142, 1947.Shallit, J. O. "一些可预测的皮尔斯展开。" Fib. Quart. 22, 332-335, 1984.Shallit, J. O. "皮尔斯展开的度量理论。" Fib. Quart. 24, 22-40, 1986.Sloane, N. J. A. 序列 A001999/M3055, A006275/M1342, A006283/M3092, A006284/M1593, A006276/M1298, A020725, A091831, A091846, A112845, A118242, 和 A132201 在 "整数序列在线百科全书" 中。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

皮尔斯展开

请引用为

Weisstein, Eric W. "皮尔斯展开。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/PierceExpansion.html

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