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圆线段选取

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CircleLinePicking

给定一个 单位圆，在其圆周上随机选取两个点，形成一条 弦。不失一般性，第一个点可以取为 (1,0)，第二个点可以取为 (costheta,sintheta)，其中 theta 在 [0,pi] 范围内 （根据对称性，范围可以限制为 pi 而不是 2pi）。两点之间的距离 s 则为

s(theta)=sqrt(2-2costheta)=2|sin(1/2theta)|.
(1)

平均距离由下式给出

s^_=(int_0^pis(theta)dtheta)/(int_0^pidtheta)=4/pi.
(2)
CircleLinePickingProb

概率密度函数 P_s 由下式获得

P_s=|(dtheta)/(ds)|P_theta=1/pi1/(sqrt(1-(1/2s)^2)).
(3)

原始矩为

mu_n^'=(int_0^pi[2sin(1/2theta)]^ndtheta)/(int_0^pidtheta)
(4)
=int_0^2(s^nds)/(pisqrt(1-(1/2s)^2))
(5)
=(2^nGamma(1/2(1+n)))/(sqrt(pi)Gamma(1+1/2n)),
(6)

给出前几个为

mu_2^'=2
(7)
mu_3^'=(32)/(3pi)
(8)
mu_4^'=6
(9)
mu_5^'=(512)/(15pi)
(10)
mu_6^'=20
(11)

（OEIS A000984 和 OEIS A093581 以及 A001803），其中奇数项的分子是 OEIS A061549 的 4 倍。

中心矩为

mu_2=2-(16)/(pi^2)
(12)
mu_3=(8(48-5pi^2))/(3pi^3)
(13)
mu_4=6+(64(pi^2-36))/(3pi^4),
(14)

给出偏度和峰度超额为

gamma_1=(2sqrt(2)(48-5pi^2))/(3(pi^2-8)^(3/2))
(15)
gamma_2=(-9pi^4+320pi^2-2304)/(6(pi^2-8)^2).
(16)

伯特兰悖论询问的是，在一个半径为 r 的圆上随机绘制的弦，其长度 r >=r 的概率。

另请参阅

球线段选取, 伯特兰悖论, 圆弧覆盖, 圆点选取, 圆三角形选取, 圆盘线段选取

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参考文献

Sheng, T. .K. "The Distance between Two Random Points in Plane Regions." Adv. Appl. Prob. 17, 748-773, 1985.Sloane, N. J. A. Sequences A000984/M1645, A001803/M2986, A061549, and A093581 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 中被引用

圆线段选取

请引用为

Weisstein, Eric W. "圆线段选取。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/CircleLinePicking.html

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