主题
数学天地
Search

第一类谢尔宾斯基数

下载 Mathematica 笔记本下载 Wolfram 笔记本

第一类谢尔宾斯基数是形如 的 S_n=n^n+1 数。前几个是 2, 5, 28, 257, 3126, 46657, 823544, 16777217, ... (OEIS A014566)。谢尔宾斯基证明了，如果 S_n 是 素数 且 n>=2, 那么 n 必须是 n=2^(2^k) 的形式，使得 S_n 成为 费马数 F_m，其中 m=k+2^k。前几个这种形式的 m 是 1, 3, 6, 11, 20, 37, 70, ... (OEIS A006127)。

数 S_k 的位数由下式给出：

d_k=[2^(k+2^k)log_(10)2],

其中 [z] 是 ceil 函数，因此前几个候选数的位数是 1, 3, 20, 617, 315653, 41373247568, ... (OEIS A089943)。

目前已知的第一类谢尔宾斯基素数只有 2, 5, 257，第一个未知情况是 F_(70)>10^(3×10^(20))。下表总结了谢尔宾斯基数的状态 (Nielsen)。

kmF_m=S(n) 的状态
01素数 (S_n=5)
13素数 (S_n=257)
26合数，因子为 1071·2^8+1
311合数，因子为 39·2^(13)+1
420合数，因子未知
537合数，因子为 1275438465·2^(39)+1
670未知
7135未知
8264未知
9521未知
101034未知
112059合数，因子为 591909·2^(2063)+1
124108未知
138205未知
1416398未知
1532783未知
1665552未知
17131089未知

另请参阅

库伦数, 康宁汉数, 费马数, 第二类谢尔宾斯基数, 伍德尔数

使用 探索

参考文献

Keller, W. "费马数的因子和形如 k·2^n+1 的大素数." Math. Comput. 41, 661-673, 1983.Keller, W. "费马数的因子和形如 k·2^n+1, II." In prep.Keller, W. "费马数 F_m 的素因子 k·2^n+1 和完全分解状态." http://www.prothsearch.net/fermat.html.Madachy, J. S. 马达奇的数学娱乐. New York: Dover, p. 155, 1979.Nielsen, J. S. "n^n+1。" http://jeppesn.dk/nton.html.Ribenboim, P. 新素数记录之书. New York: Springer-Verlag, p. 74, 1989.Sloane, N. J. A. “整数数列在线百科全书” 中的数列 A006127/M2547, A014566, A089943。

在 中被引用

第一类谢尔宾斯基数

引用为

Weisstein, Eric W. “第一类谢尔宾斯基数。” 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SierpinskiNumberoftheFirstKind.html

主题分类