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坐标环

给定一个 仿射簇 V 在 n 维 仿射空间 K^n 中，其中 K 是一个代数闭域，V 的坐标环是 商环

K[V]=K[x_1,...,x_n]/I(V),

其中 I(V) 是由所有多项式 f(x_1,...,x_n) 形成的理想，这些多项式的系数在 K 中，且在 V 的所有点处为零。如果 V 是整个 n 维 仿射空间 K^n，那么这个理想是零理想。由此可见，K^n 的坐标环是多项式环 K[x_1,...,x_n]。由笛卡尔方程 f(x_1,x_2)=0 在仿射平面 K^2 中定义的平面曲线的坐标环是 K[x_1,x_2]/<f(x_1,x_2)>。

一般来说，环 K[V] 的 Krull 维数 等于 V 作为 K^n 的 Zariski 拓扑 的闭集的维数。

两个多项式 f(x_1,...,x_n) 和 g(x_1,...,x_n) 在 V 上定义相同的函数，当且仅当 f-g in I(V)。因此，K[V] 的元素是可以被识别为从 V 到 K 的多项式函数的等价类。

此条目由 Margherita Barile 贡献

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参考文献

Shafarevich, I. R. 基础代数几何 1 和 2，第二版。 柏林：Springer-Verlag，1994 年。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

坐标环

引用为

Barile, Margherita. "坐标环." 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源，由 Eric W. Weisstein 创建. https://mathworld.net.cn/CoordinateRing.html

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