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Alladi-Grinstead 常数

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考虑阶乘 n! 分解为乘法因子 p_k^(b_k) 并按非递减顺序排列。例如，

4!=3·2^3
(1)
=2·3·4
(2)
=2·2·2·3
(3)

和

5!=3·5·2^3
(4)
=2·3·2^2·5
(5)
=2·2·2·3·5.
(6)

对于 n=2, 3, ... 这种划分的数量是 1, 1, 3, 3, 10, 10, 30, 75, 220, ... (OEIS A085288)。

现在考虑长度为 n 的这种分解的数量。例如，

9!=2·2·2·2·2·2^2·5·7·3^4
(7)
=2·2·2·2·3·5·7·2^3·3^3
(8)
=2·2·2·2·5·7·2^3·3^2·3^2
(9)
=2·2·2·3·2^2·2^2·5·7·3^3
(10)
=2·2·2·2^2·2^2·5·7·3^2·3^2
(11)
=2·2·2·3·3·5·7·3^2·2^4
(12)
=2·2·3·3·2^2·5·7·2^3·3^2
(13)
=2·2·3·3·3·3·5·7·2^5
(14)
=2·3·3·2^2·2^2·2^2·5·7·3^2
(15)
=2·3·3·3·3·2^2·5·7·2^4
(16)
=2·3·3·3·3·5·7·2^3·2^3
(17)
=3·3·3·3·2^2·2^2·5·7·2^3.
(18)

对于 n=2, 3, ... 这种划分的数量是 0, 0, 1, 1, 2, 2, 5, 12, 31, 31, 78, 78, 191, ... (OEIS A085289)。

现在令

m(n)=max(p_1^(b_1)),
(19)

即，m(n) 是长度为 n 的因式分解中最小素因子的适当幂。对于 n=4, 5, ..., m(n) 由 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, ... 给出 (OEIS A085290)。

最后，定义

alpha(n)=(lnm(n))/(lnn)
(20)

其中 ln(x) 是自然对数。因此，对于情况 n=9, m(9)=3 且

alpha(9)=(ln3)/(ln9)=(ln3)/(2ln3)=1/2.
(21)
Alladi-GrinsteadConstant

对于大的 n, alpha(n) 趋近于一个常数

lim_(n->infty)alpha(n)=e^(c-1)
(22)
=0.80939402054...
(23)

(OEIS A085291)，被称为 Alladi-Grinstead 常数，其中

c=sum_(k=2)^(infty)1/kln(k/(k-1))
(24)
=0.7885305659115...
(25)

(OEIS A085361)。常数 c 也与所谓的交错 Lüroth 表示相关联（Finch 2003, p. 62）。

通过在无穷远处展开被加数，可以将 c 的级数转换为具有更好收敛性质的级数，得到

c=sum_(k=2)^(infty)k^(-2)+1/2k^(-3)+1/3k^(-4)+...
(26)
=sum_(k=2)^(infty)sum_(n=1)^(infty)1/(nk^(n+1)).
(27)

交换求和顺序得到

c=sum_(n=1)^(infty)sum_(k=2)^(infty)1/(nk^(n+1))
(28)
=sum_(n=1)^(infty)(zeta(n+1)-1)/n,
(29)

其中 zeta(n) 是黎曼 zeta 函数。

c 也可以表示为积分

c=int_0^1ln|_1/x_|dx.
(30)

另请参阅

阶乘

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参考文献

Alladi, K. and Grinstead, C. "关于 n! 分解为素数幂。" J. Number Th. 9, 452-458, 1977.Finch, S. R. "Alladi-Grinstead 常数。" §2.9 in 数学常数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 120-122, 2003.Guy, R. K. "阶乘 n 作为 n 大因子的乘积。" §B22 in 数论中未解决的问题，第二版。 New York: Springer-Verlag, p. 79, 1994.Sloane, N. J. A. 序列 A085288, A085289, A085290, A085291, 和 A085361 in "整数序列在线百科全书。"

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Alladi-Grinstead 常数

请引用为

Weisstein, Eric W. "Alladi-Grinstead 常数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Alladi-GrinsteadConstant.html

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