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伴随表示

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一个 李代数 是一个 向量空间 g 带有 李括号 [X,Y]，满足 雅可比恒等式。因此，任何元素 X 都定义了一个线性变换，称为

ad(X)(Y)=[X,Y],
(1)

这被称为 g 的伴随表示。它是一个 李代数表示，由于 雅可比恒等式，

[ad(X_1),ad(X_2)](Y)=[X_1,[X_2,Y]]-[X_2,[X_1,Y]]
(2)
=[[X_1,X_2],Y]
(3)
=ad([X_1,X_2])(Y).
(4)

一个 李代数表示 可以用矩阵表示。最简单的 李代数 是 gl_n，即矩阵的集合。考虑 gl_2 的伴随表示，它有四维，因此将是一个四维表示。以下矩阵

e_1=[1 0; 0 0]
(5)
e_2=[0 1; 0 0]
(6)
e_3=[0 0; 1 0]
(7)
e_4=[0 0; 0 1]
(8)

构成了 gl_2 的一个基。基于这个基，伴随表示可以用以下矩阵来描述

ad(e_1)=[ 0 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 0]
(9)
ad(e_2)=[ 0 0 1 0; -1 0 0 1; 0 0 0 0; 0 0 -1 0]
(10)
ad(e_3)=[ 0 -1 0 0; 0 0 0 0; 1 0 0 -1; 0 1 0 0]
(11)
ad(e_4)=[ 0 0 0 0; 0 -1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 0].
(12)

另请参阅

交换子, 群表示, 李代数, 李群, 李括号, 幂零李代数, 半单李代数

此条目由 Todd Rowland 贡献

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参考文献

Fulton, W. 和 Harris, J. 表示论 纽约: Springer-Verlag, 1991.Jacobson, N. 李代数 纽约: Dover, 1979.Knapp, A. 李群：超越导论 波士顿，马萨诸塞州: Birkhäuser, 1996.

Wolfram|Alpha 中引用

伴随表示

请引用为

Rowland, Todd. "伴随表示。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源，由 Eric W. Weisstein 创建。 https://mathworld.net.cn/AdjointRepresentation.html

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