切博塔列夫密度定理

切博塔列夫密度定理是代数数论中一个复杂的定理，它给出了数域 的素理想的渐近公式，这些素理想在 的代数扩张 中以某种方式分裂。当基域是有理数域 时，该定理变得简单得多。

设 是一个首一的 不可约多项式，其次数为 ，且具有整数系数，根为 ，设 ，设 为 的正规闭包，并设 为 的一个划分 ，即一组正整数 的有序集合，其中 。如果一个素数不除以 的判别式，则称该素数是（在数域 上）非分歧的。设 表示非分歧素数的集合。考虑非分歧素数的集合 ，对于这些素数， 模 分解为 ，其中 模 是不可约的，且次数为 。 同样定义 中素数的密度 如下

现在考虑数域 的伽罗瓦群 。由于这是对称群 的一个子群， 的每个元素都可以表示为 个字母的排列，而排列又可以唯一地表示为不相交轮换的乘积。现在考虑 的元素集合， 由长度为 , , ..., 的不相交轮换组成。那么 。

作为一个例子，设 ，所以 且 ，其中 是本原单位根。由于 的判别式为 ，因此唯一的分歧素数是 2 和 3。

设 为一个非分歧素数。那么 有一个根（模 ）当且仅当 2 有一个立方根（模 ），这发生在 (mod 3) 或 (mod 3) 且 2 的乘法阶模 整除 时。第一种情况发生在所有非分歧素数的一半中，第二种情况发生在所有素数的六分之一中。在第一种情况下，2 有一个唯一的立方根模 ，所以 分解为一个线性因子和一个不可约二次因子模 的乘积。在第二种情况下，2 有三个不同的立方根模 ，所以 有三个线性因子模 。在剩余的情况下，这种情况发生在所有非分歧素数的三分之一中， 模 是不可约的。现在考虑 的对应元素。第一种情况对应于 2-轮换和 1-轮换（恒等元）的乘积，其中有三个，或 元素的一半，第二种情况对应于三个 1-轮换的乘积，或恒等元，其中只有一个元素，或 元素的六分之一，剩余的情况对应于 3-轮换，其中有两个，或 元素的三分之一。由于在这种情况下 ，切博塔列夫密度定理对于这个例子成立。

切博塔列夫密度定理通常可以用于确定给定次数为 的不可约多项式 的伽罗瓦群。为此，计数到指定界限的非分歧素数的数量，对于这些素数， 以某种方式分解，然后将结果与 的每个传递子群中具有相同循环结构的元素的比例进行比较。Lenstra 提供了一些关于此过程的很好的例子。