柯西不等式

是 赫尔德求和不等式 在 时的特例，

(1)

其中等式成立的条件是 。该不等式有时也称为拉格朗日不等式 (Mitrinović 1970, p. 42)，并且可以写成向量形式：

(2)

在二维情况下，它变为：

(3)

可以通过以下方式证明：

(4)

如果 是一个常数 ，则 。如果它不是常数，那么对于 实数 ，所有项不能同时消失，因此解是 复数，可以使用 二次方程 找到：

(5)

为了使这个解是 复数，必须满足：

(6)

当 是常数时等号成立。向量 推导要简单得多：

(7)

其中

(8)

对于 也是类似的。