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赫尔德不等式

设

1/p+1/q=1
(1)

其中 p, q>1。则积分形式的赫尔德不等式指出

int_a^b|f(x)g(x)|dx<=[int_a^b|f(x)|^pdx]^(1/p)[int_a^b|g(x)|^qdx]^(1/q),
(2)

等号成立当且仅当

|g(x)|=c|f(x)|^(p-1).
(3)

如果 p=q=2, 则此不等式变为 施瓦茨不等式。

类似地，求和形式的赫尔德不等式指出

sum_(k=1)^n|a_kb_k|<=(sum_(k=1)^n|a_k|^p)^(1/p)(sum_(k=1)^n|b_k|^q)^(1/q),
(4)

等号成立当且仅当

|b_k|=c|a_k|^(p-1).
(5)

如果 p=q=2, 则此不等式变为 柯西不等式。

另请参阅

柯西不等式, 施瓦茨不等式

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, p. 11, 1972.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. 积分、级数和乘积表，第 6 版。 San Diego, CA: Academic Press, pp. 1092 and 1099, 2000.Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; and Pólya, G. "Hölder's Inequality and Its Extensions." §2.7 and 2.8 in 不等式，第 2 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 21-26, 1988.Hölder, O. "Über einen Mittelwertsatz." Göttingen Nachr., 38-47, 1889.Riesz, F. "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen." Math. Ann. 69, 456, 1910.Riesz, F. "Su alcune disuguaglianze." Boll. Un. Mat. It. 7, 77-79, 1928.Rogers, L. J. "An Extension of a Certain Theorem in Inequalities." Messenger Math. 17, 145-150, 1888.Sansone, G. 正交函数，修订英文版。 New York: Dover, pp. 32-33, 1991.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

赫尔德不等式

请引用为

魏斯坦, 埃里克·W. "赫尔德不等式。" 来自 MathWorld—— Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/HoeldersInequalities.html

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