伯特兰悖论

在半径为 半径 的 圆 上随机绘制一条 弦 的 概率 是多少？（即，圆上直线选取）弦的长度 （或有时大于或等于内接等边三角形的边长；Solomon 1978，第 2 页）？答案取决于对“随机绘制两个点”的解释，或更具体地说，取决于问题的“自然”度量。

在最常考虑的度量中，圆 的 圆周 上的 角 和 是随机选取的。不失一般性，这可以表述为：从正 x 轴 沿单位圆测量的随机角 的单个点的弦长的概率。由于长度作为 的函数（圆上直线选取）由下式给出

(1)

求解 得到 ，因此弦长大于 1 的上半单位圆的比例为

(2)

然而，如果将一个点随机放置在 圆 的 半径 上，并绘制一条与之 垂直 的 弦，则

(3)

后一种解释更令人满意，因为对于旋转的 圆、内接 于第一个圆的略小的 圆，或者对于尺寸相同但中心略微偏移的 圆，结果保持不变。Jaynes (1983) 表明，将“随机”解释为 半径 上连续 均匀分布 是唯一具有所有这三种不变性的解释。