关联分次环

给定一个交换单位环 和一个 滤子

(1)

理想 的 ，关于 的 的关联分次环是 分次环

(2)

加法是逐分量定义的，乘法定义如下。如果 是 模 的剩余类，并且 是 模 的剩余类，那么 是 模 的剩余类。

是关于 的 的 Rees 环 的 商环，

(3)

如果 是 的 真理想，那么符号 表示关于 -adic 滤子的 的关联分次环，

(4)

如果 是 诺特环，那么 也是。此外， 在 上是有限生成的。最后，如果 是以极大理想 为极大理想的局部环，那么

(5)