射影扩展实数

集合 ，通过向实数集合 添加一个非正常元素获得，是射影扩展实数的集合。尽管记号并非完全标准化，但 在此被用来表示这个扩展实数集合。在适当的拓扑下， 是 的单点紧化（或射影闭包）。如上所示，黎曼球面的横截面，由其“实轴”和“北极”组成，可以用来可视化 。非正常元素，射影无穷大 ()，然后与理想点，“北极”相对应。

与仿射扩展实数 的有符号仿射无穷大 ( 和 ) 相比，射影无穷大 是无符号的，像 0 一样。遗憾的是， 也是无序的，即，对于 ，既不能说 ，也不能说 。因此， 在实分析中使用得远不如 频繁。因此，如果上下文未明确指定，“扩展实数”通常指的是 ，而不是 。

算术运算可以从 部分扩展到 ，

	(1)
	(2)
	(3)
	(4)

（相比之下，在 中， 是未定义的）。表达式 和 在 中最常被未定义。

指数函数 不能扩展到 。另一方面，当处理有理函数和某些其他函数时， 是有用的。例如，如果将 用作 的值域，那么通过取 对于整数 ，该函数的定义域可以扩展到所有 。

上面的图示显示了 上的两个区间。其中一个是集合 使得 ，当然可以使用常用的区间表示法方便地写成 。但是另一个区间，由 组成（可以被认为是仿射扩展的两个有符号无穷大 的“合并”），以及所有实数 ，使得 或 ，不能使用常用的符号如此方便地表示。

如果不是因为这些区间出现在允许区间除以包含 0 的区间的 区间算术系统中，这可能不会引起太多兴趣。例如，考虑 。这个除法可以在 Wolfram 语言中使用以下代码执行Interval[6,7]/Interval[-3,2]，这会产生Interval[-Infinity, -2, 3, Infinity]。这表示 ，仿射扩展中两个区间的并集。但是，如上图所示，射影扩展中的对应集合是单个区间，如果能够这样表示它会很好。已经提出了各种表示这种区间的约定。根据一种约定（Reinsch 1982，第 88-89 页），在表示 的数圆上，令 表示从 到 沿逆时针方向追踪的闭区间。根据这个定义，例如， 保留了其先前的含义。但是，即使当 时，该定义也适用，允许将上述区间除法的答案简明地写为 。