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百美元挑战赛获胜者公布

作者：Eric W. Weisstein

2002年5月25日——《SIAM News》杂志2002年1/2月刊刊登了一项有趣的读者挑战。其中，数值分析师 Nick Trefethen 提出了 10 个计算问题，每个问题都只有一个实数作为答案。作者为在 2002 年 5 月 20 日前计算出最多正确位数的人或团队提供了 100 美元的奖励。评分标准为每正确一位数得 1 分，每个问题最多 10 分。

百美元、百位数挑战问题的主题范围从数值积分到全局最小化，再到随机游走的解法。

比赛的获胜者今天在 Trefethen 的网站上公布。来自 25 个国家的 94 支队伍参加了比赛。其中，20 支队伍获得了满分 100 分，5 支队伍获得了 99 分。Trefethen 将随机抽取三支满分队伍，并向他们颁发每队 100 美元的奖金。

获得满分的队伍之一是由 Mathematica 开发人员和合作者组成的。“Mathematica 团队”的成员包括西澳大利亚大学的 Paul Abbott 和 , Inc. 的 Brett Champion、Yifan Hu、Daniel Lichtblau 和 Michael Trott，他们使用 Mathematica 完全解决了所有问题。Mathematica 的以下功能在解决这 10 个问题中至关重要并被反复使用：快速机器算术、任意精度有效位数算术、区间算术、稠密和稀疏线性代数、符号积分、序列变换和外推，以及高精度特殊函数求值。

事实上，对于大多数 10 个问题，使用 Mathematica 的任意精度算术可以轻松计算出任意位数的数字。

下表给出了所有 10 个问题的描述和数值答案。

#	答案	问题
1	0.3233674316	是什么 $\lim_{\epsilon\to 0} \int_\epsilon^1 x^{-1}\cos(x^{-1}\ln x)\,dx$ ?
2	0.9952629194	一个光子在 - 平面内以速度 1 运动，在时刻从出发，方向正东。在平面内的每个整数格点周围，都竖立着半径为的圆形镜子。光子在时刻距离原点有多远？
3	1.274224152	无限矩阵 $\mathsf{A}$ ，其元素为 $a_{11} = 1$ , $a_{12} = 1/2$ , $a_{21} = 1/3$ , $a_{13} = 1/4$ , $a_{22} = 1/5$ , $a_{31} = 1/6$ 等等，是 $\ell^2$ 上的有界算子。是什么 $\Vert\mathsf{A}\Vert$ ?
4	-3.306868647	函数的全局最小值是什么
5	0.2143352345	设 $f(z)=1/\Gamma(z)$ ，其中 $\Gamma(z)$ 是伽玛函数，设是在单位圆盘上以上确界范数最佳逼近的三次多项式 $\Vert\cdot\Vert _\infty$ 。是什么 $\Vert f-p\Vert _\infty$ ?
6	0.06191395447	一只跳蚤从无限 2D 整数格点上的出发，执行有偏随机游走：每一步它以 1/4 的概率向北或向南跳跃，以 $1/4 + \epsilon$ 的概率向东跳跃，并以 $1/4 - \epsilon$ 的概率向西跳跃。跳蚤在其游荡过程中返回的概率为 1/2。 $\epsilon$ 是多少？
7	0.7250783462	设 $\mathsf{A}$ 为 $20{,}000\times 20{,}000$ 矩阵，其元素除主对角线上的素数 2, 3, 5, 7, ..., 224737 以及所有位置 $a_{ij}$ 中 $\vert i-j\vert = 1$ , 2, 4, 8, ..., 16384 的数字 1 外，其余均为零。 (1, 1) 项是什么 $\mathsf{A}^{-1}$ ?
8	0.4240113870	一个正方形板 $[-1, 1]\times [-1, 1]$ 的温度为。在时间时，其中一条边的温度升高到，而其他三条边保持在 u = 0，然后热量根据以下公式流入板中 $u_t = \Delta u$ 。板中心何时达到温度？
9	0.7859336743	积分 $I(\alpha)=\int_0^2 [2 + \sin(10\alpha)]x^\alpha \sin(\alpha/(2- x))\,dx$ 取决于参数 $\alpha$ 。值为多少 $\alpha\in[0, 5]$ 时， $I(\alpha)$ 达到最大值？
10	0.3837587979 x 10^-6	一个位于 $10\times 1$ 矩形中心的粒子进行布朗运动（即，步长无限小的2D 随机游走），直到它到达边界。它击中端点而不是侧面的概率是多少？