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贝利和克兰德尔发现新型正规数

作者：Eric W. Weisstein

2001 年 10 月 4 日（修订于 2003 年 3 月 17 日）——正规数被定义为一个实数，其数字是真正随机的——意味着在基数-b 中，每个数字、每对数字以及更高阶的数字组合，都以极限均匀分布的频率出现。例如，为了使一个数在十进制下是正规的，数字 0-9 中的每一个都应出现 1/10 的时间，数字 00-99 中的每一个都应出现 1/100 的时间，依此类推。证明数字的正规性极其困难，并且在今天宣布的这项新研究之前，所有已知的具有此属性的数字都是人为构造的。例如，确定著名的常数 π 和 e 在任何基数中是否为正规数，至今仍是一个未解决的问题。

在 D. H. 贝利和 R. E. 克兰德尔发表在《实验数学》期刊上的工作中，他们基于先前对随机数字的混沌动力学建模，证明了某些通用数值常数类别的数字具有均匀分布。特别是，虽然 自然对数 2 的 b-正规性

Log[2] == Sum[1/(n 2^n), {n, Infinity}]

对于任何 b 仍然未知，但贝利和克兰德尔推广了斯通汉姆（Stoneham，1973）之前的研究结果，表明对于任何互质的正整数 b 和 c

alpha[b, c] == Sum[1/(c^k b^(c^k)), {k, Infinity}]

是 b-正规的。新结果还确立了以下形式的常数的 b-正规性

Sum[1/(b^m[[i]] c^n[[i]]), {i, Infinity}]

对于某些整数序列 (m_i) 和 (n_i)。

贝利和克兰德尔还证明了许多相关结果，包括确定 喷嘴算法，用于计算alpha[2, 3]，从而确定了第 googol 个二进制位是 0。