通用代数

通用代数研究所有代数结构的共同性质，包括 群、环、域、格 等。

通用代数是一个 对 ，其中 和 是集合，并且对于每个 ， 是在 上的运算。如果代数 的每个运算都是有限元的，则称其为有限元代数。

度数为 的函数符号（或运算）的集合称为特征标（或类型）。令 为一个特征标。代数 由一个域 （称为载体或全集）和一个映射定义，该映射将一个函数 关联到来自 的每个 位函数符号。

设 和 是两个在相同特征标 上的代数，它们的载体分别是 和 。一个映射 被称为从 到 的同态，如果对于每个 和所有 ,

如果一个 同态 是 满射，则它被称为 满同态。如果 是一个 满同态，则 被称为 的同态像。如果同态 是一个 双射，则它被称为 同构。在所有代数的类上，定义一个关系 ，使得 当且仅当存在从 到 的同构。那么关系 是一个 等价关系。它的等价类被称为同构类，并且通常是真类。

从 到 的 同态 通常表示为 。一个 同态 被称为 自同态。一个 同构 被称为 自同构。同态、同构、自同态等概念是 群、环 和其他代数理论中相应概念的推广。

特征标 上代数 中的恒等式（或等式）具有以下形式

其中 和 是使用来自 的函数符号从变量构建的项。

如果对于恒等式中变量的所有可能值（即，对于将变量替换为载体元素的所有可能方式）都成立，则称恒等式 在代数 中成立。然后称代数 满足恒等式 。