拉普拉斯方程 -- 环面坐标

在 环面坐标 中，拉普拉斯方程 变为

(1)

尝试 分离变量，代入试解

(2)

然后将结果除以 得到

(3)

函数 然后分离得到

(4)

给出解

(5)

将 代回并除以 得到

(6)

函数 然后分离得到

(7)

给出解

(8)

将 代回并乘以 得到

(9)

也可以写成

(10)

(Arfken 1970, pp. 114-115)。拉普拉斯方程 是部分可分离的，但 亥姆霍兹微分方程 不是。

... 的微分方程的解被称为 环面函数。