Stampacchia 定理

“Stampacchia 定理” 是泛函分析中与许多相关结果相关的名称。尽管定理的具体内容通常因参考文献而异，但 Stampacchia 提出的一个常见结果是针对任意 Hilbert 空间 上的连续、强制双线性形式的一种“表示不等式”。这个特定版本的结果因多种原因而备受关注，最值得注意的是它暗示了所谓的 Lax-Milgram 定理。

为了陈述上述定理版本，令 为 Hilbert 空间，令 为 上的连续且强制双线性形式，令 为 的闭凸子集。Stampacchia 的一个结果表明，在这些假设下，对于任何 中的函数 ，必然存在唯一的 中的函数 ，使得不等式

(1)

对所有 中的函数 都成立，其中 表示 上的 内积。请注意，此结果的形式特别好，因为通过检查 中的任意元素 并选择 中的元素 ，使得上述不等式对所有 中的 成立， 的凸性意味着

(2)

对所有 中的 都成立，并且由于 和内积都是双线性的，因此将上述不等式对 重述必然会得到

(3)

将后两个不等式结合起来，并考虑 的情况，就可以得到 Lax-Milgram 定理，该定理指出，在上述假设下，对于任何 中的元素 ，必然存在唯一的 中的元素 满足

(4)

对所有 中的 都成立。

然而，如上所述，归因于 Stampacchia 的结果内容可能有所不同。定理的另一种常见形式指出，如果函数 位于有界域 的 Sobolev 空间 中，并且如果 是满足 的实值 Lipschitz 函数，那么只要 且函数 满足广义导数恒等式，则 复合函数 也位于 中

(5)

几乎处处在 中。在上面， 定义为 中具有零 迹 的函数的集合，即

(6)

其中 是 上所有具有 紧支撑 的 光滑函数 的集合。