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球贝塞尔第一类函数

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SphericalBesselj

球贝塞尔第一类函数，记作 j_nu(z)，定义为

j_nu(z)=sqrt(pi/(2z))J_(nu+1/2)(z),
(1)

其中 J_nu(z) 是第一类贝塞尔函数，一般情况下，z 和 nu 是复数。

此函数最常用于 nu=n 为整数的情况，在这种情况下，它由下式给出

j_n(z)=2^nz^nsum_(k=0)^(infty)((-1)^k(k+n)!)/(k!(2k+2n+1)!)z^(2k)
(2)
=z^nsum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(k!(2k+2n+1)!!)((z^2)/2)^k
(3)
=(-1)^nz^n(d/(zdz))^n(sinz)/z.
(4)

方程 (4) 显示了 j_n(0) 和 sinc 函数 sinc(x)=sinx/x 之间的密切联系。

球贝塞尔函数 j_nu(z) 在 Wolfram 语言 中实现为SphericalBesselJ[nu, z] 使用定义

j_nu(z)=sqrt(pi/2)1/(sqrt(z))J_(nu+1/2)(z),
(5)

这与“传统版本”沿着 分支切割 的 平方根 函数不同，即负实轴（例如，在 j_0(-1)），但对于复数 z 具有更好的解析性质 (Falloon 2001)。

前几个函数是

j_0(z)=(sinz)/z
(6)
j_1(z)=(sinz)/(z^2)-(cosz)/z
(7)
j_2(z)=(3/(z^3)-1/z)sinz-3/(z^2)cosz,
(8)

其中包括特殊值

j_0(z)=sinc(z).
(9)

另请参阅

Sinc 函数, 球贝塞尔微分方程, 第二类贝塞尔函数, 泊松积分表示, 瑞利公式, 球贝塞尔第二类函数

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Spherical Bessel Functions." §10.1 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 437-442, 1972.Arfken, G. "Spherical Bessel Functions." §11.7 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 622-636, 1985.Falloon, P. E. Theory and Computation of Spheroidal Harmonics with General Arguments. Masters thesis. Perth, Australia: University of Western Australia, 2001. http://www.physics.uwa.edu.au/pub/Theses/2002/Falloon/Masters_Thesis.pdf.

在 Wolfram|Alpha 上引用

球贝塞尔第一类函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "球贝塞尔第一类函数。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/SphericalBesselFunctionoftheFirstKind.html

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