主题
Search

球贝塞尔第一类函数

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram 笔记本
SphericalBesselj

球贝塞尔第一类函数，记作 j_nu(z)，定义为

j_nu(z)=sqrt(pi/(2z))J_(nu+1/2)(z),
(1)

其中 J_nu(z) 是第一类贝塞尔函数，一般情况下，z 和 nu 是复数。

此函数最常用于 nu=n 为整数的情况，在这种情况下，它由下式给出

j_n(z)=2^nz^nsum_(k=0)^(infty)((-1)^k(k+n)!)/(k!(2k+2n+1)!)z^(2k)
(2)
=z^nsum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(k!(2k+2n+1)!!)((z^2)/2)^k
(3)
=(-1)^nz^n(d/(zdz))^n(sinz)/z.
(4)

方程 (4) 显示了 j_n(0) 和 sinc 函数 sinc(x)=sinx/x 之间的密切联系。

球贝塞尔函数 j_nu(z) 在 Wolfram 语言 中实现为SphericalBesselJ[nu, z] 使用定义

j_nu(z)=sqrt(pi/2)1/(sqrt(z))J_(nu+1/2)(z),
(5)

这与“传统版本”沿着 分支切割 的 平方根 函数不同，即负实轴（例如，在 j_0(-1)），但对于复数 z 具有更好的解析性质 (Falloon 2001)。

前几个函数是

j_0(z)=(sinz)/z
(6)
j_1(z)=(sinz)/(z^2)-(cosz)/z
(7)
j_2(z)=(3/(z^3)-1/z)sinz-3/(z^2)cosz,
(8)

其中包括特殊值

j_0(z)=sinc(z).
(9)

另请参阅

Sinc 函数, 球贝塞尔微分方程, 第二类贝塞尔函数, 泊松积分表示, 瑞利公式, 球贝塞尔第二类函数

通过 探索

参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Spherical Bessel Functions." §10.1 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 437-442, 1972.Arfken, G. "Spherical Bessel Functions." §11.7 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 622-636, 1985.Falloon, P. E. Theory and Computation of Spheroidal Harmonics with General Arguments. Masters thesis. Perth, Australia: University of Western Australia, 2001. http://www.physics.uwa.edu.au/pub/Theses/2002/Falloon/Masters_Thesis.pdf.

在 上引用

球贝塞尔第一类函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "球贝塞尔第一类函数。" 来自 网络资源。 https://mathworld.net.cn/SphericalBesselFunctionoftheFirstKind.html

主题分类