双二次互反定理

高斯陈述了 n=4 情况下的互反定理

(1)

可以使用 高斯整数 求解，如下所示

(2)

这里， 和 是不同的 高斯素数，并且

(3)

是范数。符号 的意思是

(4)

其中“可解”意味着可以用 高斯整数 求解。

对于同余于 1 (mod 8) 的素数 ，如果存在整数 使得，则 2 是模 的四次剩余

(5)

这是 亏格定理 的推广。如果 同余于 7 (mod 8)，则 2 始终是模 的四次剩余。事实上，如果 ，那么 同余于 2 (mod )。例如， 同余于 2 (mod 7)。