类域论

取 为一个数域，并取 为 的一个除子。一个同余子群 被定义为相对于 互素的所有分式理想群 () 的一个子群，它包含所有由 的元素生成的主理想，这些元素等于 1 (mod )。这些主理想在所有阿贝尔扩张中完全分裂，因此是每个阿贝尔扩张 的 Artin 映射的核的一部分。

当存在一个阿贝尔扩张 ，使得 包含所有在 中分歧的素数，并且使得 等于 Artin 映射的核时，则 被称为 的类域。

为了阐述主要定理，需要同余子群上的等价关系，即如果存在一个除子 使得 ，则称 和 是等价的。

类域论由两个基本定理组成。存在性定理指出，对于每个同余子群的等价类，都存在一个类域 。分类定理指出，对于每个数域 ，在阿贝尔扩张 和同余子群的等价类 之间存在唯一的一一对应。

这很重要，因为这意味着可以使用完全由数域自身确定的属性来找到数域的所有阿贝尔扩张。