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多面体质心

由 N 个三角形面组成的多面体的几何质心可以使用旋度定理计算，公式如下：

x^_=1/(48)sum_(i=1)^(n)n_i·x^^([(a_i+b_i)·x^^]^2+[(b_i+c_i)·x^^]^2+[(c_i+a_i)·x^^]^2)
(1)
y^_=1/(48)sum_(i=1)^(n)n_i·y^^([(a_i+b_i)·y^^]^2+[(b_i+c_i)·y^^]^2+[(c_i+a_i)·y^^]^2)
(2)
z^_=1/(48)sum_(i=1)^(n)n_i·z^^([(a_i+b_i)·z^^]^2+[(b_i+c_i)·z^^]^2+[(c_i+a_i)·z^^]^2),
(3)

其中法向量 n_i 由叉积给出

n_i=(b_i-a_i)x(c_i-a_i).
(4)

此公式可应用于具有任意面的多面体，因为具有三个以上顶点的面可以被三角化。此外，该公式适用于凹多面体以及凸多面体。

质心也可以使用散度定理计算，方法是对函数 F=(x^2/2,0,0)、G=(xy,0,0) 和 H=(xz,0,0) 进行积分，这些函数在各处都具有散度 del ·F=x、del ·G=y 和 del ·H=z，积分区域为多面体的三角面。

另请参阅

几何质心, 多面体, 多面体体积,

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参考文献

Dobrovolskis, A. R. "任意多面体的惯性。" Icarus 124, 698-704, 1996.Lawlor, O. "边界积分与转动惯量矩阵。" CS 482 Lecture. https://www.cs.uaf.edu/2015/spring/cs482/lecture/02_20_boundary.html.Mirtich, B. "多面体质量属性的快速准确计算。" J. Graphics Tools 1, No. 2, 31-50, Feb. 1996.Nürnberg, R. "计算二维多边形的面积和质心。" 2013. https://www.ma.imperial.ac.uk/~rn/centroid.pdf.

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "多面体质心。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/PolyhedronCentroid.html

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