完美幻立方

完美幻立方是指这样一种幻立方：它的行、列、柱、空间对角线，以及每个正交切片的对角线之和都等于同一个数（即幻和 ）。虽然这种术语在已出版的文献中是标准的（Gardner 1976，Benson and Jacoby 1981，Gardner 1988，Pickover 2002），但有人在不同时期建议将这种立方体称为迈尔斯立方体、迈尔斯对角线立方体或对角线幻立方（Heinz）。

存在一个一阶的平凡完美幻立方，但不存在 2-4 阶的完美幻立方（Schroeppel 1972；Benson and Jacoby 1981，pp. 23-25；Gardner 1988）。虽然自 19 世纪后期以来，人们就已经知道 7 阶和 9 阶的普通完美幻立方，但长期以来人们并不知道是否存在 5 阶或 6 阶的完美幻立方（Wells 1986，p. 72），尽管 Schroeppel (1972) 和 Gardner (1988) 指出，任何这样的立方体的中心值都必须为 63。（令人困惑的是，Benson 和 Jacoby（1981，p. 5）给出的表格中包含条目“--仅限泛对角线”，错误地暗示了 5 阶完美幻立方是不可能的。）然后，在 2003 年 11 月 14 日，C. Boyer 和 W. Trump 发现了上面以三维形式和横截面形式展示的五阶完美幻立方（Schroeppel 2003，Augereau 2003，Weisstein 2003）。正如预期的那样，这个立方体的中心值为 63。

Boyer 和 Trump 的发现紧随 Trump 在 2003 年 9 月 1 日首次发现的已知 6 阶完美幻立方（Boyer），如上图所示。

第一个发表的完美幻立方是由剑桥圣约翰学院的 A. H. Frost 牧师发现的 7 阶立方体（Frost 1866）。由于 Frost 曾是印度纳西克的传教士，他将他构造的这种特殊类型的幻立方称为纳西克立方体。Langman (1962) 随后构造了另一个 7 阶完美幻立方，R. Schroeppel 和 Ernst Straus 也发现了其他的完美幻立方（Wells 1986，p. 72）。

第一个发表的 8 阶完美幻立方是由 Gustavus Frankenstein 构造的，并于 1875 年 3 月 11 日在《辛辛那提商业报》上发表（Barnard 1888，Gardner 1976，Benson and Jacoby 1981，Gardner 1988；Boyer）。Frankenstein 对他的发现充满诗意，他接着写道：“这个发现给我带来的满足感比我在门槛下发现金矿还要大；正是这样的喜悦让贫穷比克罗伊索斯的财富更甜蜜。” Ball 和 Coxeter (1987) 讨论了 8 阶完美幻立方的构造。Rosser 和 Walker 在 1930 年代后期重新发现了 8 阶立方体，但没有发表，Myers 在 1970 年独立发现了上面显示的立方体（Wells 1986，p. 72；Gardner 1988）。

Frost (1878) 发现了一个 9 阶完美幻立方，但它没有使用连续的数字。第一个发表的 9 阶普通完美幻立方是由 Planck (1905) 发现的。第一个 10 阶完美幻立方是 Li Wen 在 1988 年构造的，并在 2003 年 12 月告知了 C. Boyer。11 阶和 12 阶的完美幻立方也是已知的（Barnard 1888，Benson 1981，Boyer）。下表总结了已知的完美幻立方及其发现者 (Boyer)。

	阶数
3	不可能
4	不可能 (Schroeppel 1972)
5	Trump 和 Boyer (Boyer, Weisstein 2003)
6	Trump (Boyer, Weisstein 2003)
7	Frost (1866)
8	Frankenstein (1875)
9	Planck (1905)
10	李文 (1988, Boyer)
11	Barnard (1888)
12	Benson (1981)