双重幻立方

双重幻立方是一个（普通的）幻立方，当其所有元素平方后仍然是幻立方。当然，即使是普通的幻立方在平方后也会变成非普通的（即，包含非连续元素）。

Cazalas (1934) 尝试构建双重幻立方但失败了 (Boyer)。 David M. Collison 显然在一篇未发表的论文中构建了一个 25 阶双重幻立方 (Hendricks 1992)，但直到 2000 年，John Hendricks 才发表了一个 25 阶完美幻立方，其平方是一个半完美幻立方。

2003 年 1 月 20 日，Christian Boyer 发现了一个 16 阶双重幻立方（其中立方体本身是完美幻立方，但其平方仅是半完美幻立方）。 紧随其后的是 1 月 23 日的另一个 16 阶双重幻立方（其中基本立方体是完美的，其平方是半完美的），1 月 27 日的 32 阶双重幻立方（其中基本立方体及其平方都是完美的），以及 2003 年 2 月 3 日的 27 阶双重幻立方（其中基本立方体是完美的，但其平方是半完美的）。

因此，Boyer 的 16 阶立方体成为已知的最小双重幻立方，而他的 32 阶立方体成为第一个已知的完美双重幻立方。